Oppgaver: Rekker

Velg type oppgaver:
Alle oppgaver
Alle oppgaver
Konvergens
Sum av rekker

Antall oppgaver:

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Tips 3: Her har vi tatt med mange mellomregninger. Det ser mer komplisert ut enn det er.

Oppgave kon01:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} n

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: I divergenstesten finner vi grensen:

\lim_{n \to \infty} a_n
  • Dersom grensen er ulik null eller ikke eksisterer, divergerer rekken.
  • Dersom grensen er lik null har vi ingen konklusjon.

Løsning: Her kan vi bruke divergenstesten:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n \to \infty

Siden grensen ikke eksisterer, viser divergenstesten at rekken divergerer.

Video: Under produksjon

Oppgave kon02:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 3}{n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: I divergenstesten finner vi grensen:

\lim_{n \to \infty} a_n
  • Dersom grensen er ulik null eller ikke eksisterer, divergerer rekken.
  • Dersom grensen er lik null har vi ingen konklusjon.

Løsning: Her kan vi bruke divergenstesten:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{3}{n} \right) = 2

Siden grensen er ulik null, viser divergenstesten at rekken divergerer.

Video: Under produksjon

Oppgave kon03:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Divergenstesten gir ingen konklusjon siden grensen blir null. Rekken er heller ikke en geometrisk rekke.

Rekken er en p-rekke og vi kan bruke p-testen:

a_n = \frac{k}{n^p}
  • Dersom $p \le 1$ divergerer rekken
  • Dersom $p > 1$ konvergerer rekken

Løsning: Rekken er en p-rekke:

a_n = \frac{\textcolor{red}{k}}{n^{\textcolor{blue}{p}}} = \frac{\textcolor{red}{2}}{n^{\textcolor{blue}{2}}}

der $\textcolor{red}{k = 2}$ og $\textcolor{blue}{p = 2}$. Siden $\textcolor{blue}{p} \ge 1$ konvergerer rekken ifølge p-testen.

Video: Under produksjon

Oppgave kon04:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{3^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Rekken er en geometrisk rekke $a_n = kr^n$ og vi kan derfor bruke testen for geometriske rekker:

  • Dersom $|r| < 1$ konvergerer rekken
  • Dersom $|r| \le 1$ divergerer rekken

Forholdstesten kan også brukes her.

Løsning: Rekken er en geometrisk rekke:

a_n = \textcolor{blue}{k}\textcolor{red}{r}^n = \textcolor{blue}{3} \cdot \left(\textcolor{red}{\frac{1}{3}} \right)^n

der $\textcolor{blue}{k = 3}$ og $\textcolor{red}{r = \frac{1}{3}}$. Siden $|\textcolor{red}{r}| < 1$, konvergerer rekken.

Alternativt kan vi bruke forholdstesten:

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
= \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{3}{3^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{3}{3^{\textcolor{red}{n}}}} 
= \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{3}{3^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{3}{3^{\textcolor{red}{n}}}} 
\cdot \frac{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}
= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3} < 1

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon05:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
& = \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{3^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{\textcolor{red}{n}^2}{3^{\textcolor{red}{n}}}}  \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad L& = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}} { \frac{\textcolor{red}{n}^2}{3^{\textcolor{red}{n}} }} 
\cdot \frac{3^{n+1} }{3^{n+1} } \\
\textnormal{Forkorter: } \quad L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{\cancel{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}}} { \frac{\textcolor{red}{n}^2}{\cancel{3^{\textcolor{red}{n}}} }} 
\cdot \frac{\cancel{3^{n+1}} }{\cancel{3^{n}} \cdot 3^1} \\
\textnormal{Rydder: } \quad L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ (\textcolor{blue}{n+1})^2} { 3\textcolor{red}{n}^2 } \\
\textnormal{Deler på høyeste potens: } \quad L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ (\textcolor{blue}{n+1})^2 \cdot \frac{1}{n^2} } { 3\textcolor{red}{n}^2 \cdot \frac{1}{n^2}} \\
\textnormal{Multipliserer: } \quad L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \left(1+\frac{1}{n} \right)^2 } { 3 } \\
\textnormal{Lar $n \to 0$: } \quad L & = \frac{(1+0)^2}{3} = \frac{1}{3} \le 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon06:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{20}}{2^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right|
&= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{20}}{2^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{\textcolor{red}{n}^{20}}{2^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{20}}{2^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{\textcolor{red}{n}^{20}}{2^{\textcolor{red}{n}}}} 
\cdot \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{20}}{\cancel{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}} } { \frac{\textcolor{red}{n}^{20}}{\cancel{2^{\textcolor{red}{n}}}}} 
\cdot \frac{\cancel{2^{n+1}}}{\cancel{2^n}  \cdot 2^1} \\
\textnormal{Rydder: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)^{20}}{2 n^{20}} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)^{20} \cdot \frac{1}{n^{20}}}{2 n^{20} \cdot \frac{1}{n^{20}}} \\
\textnormal{Multipliserer: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{20}}{2} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$: } \quad L 
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( 1 + 0 \right)^{20}}{2} = \frac{1}{2} \le 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon07:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 5}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Hvert ledd i rekken er et polynom delt på et annet polynom:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}

der $\textcolor{red}{q}$ er høyeste eksponent i teller og $\textcolor{blue}{p}$ er høyeste eksponent i nevner.

Utvidet p-test gir:

  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$: Rekken konvergerer
  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$: Rekken divergerer

Løsning: Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller ($1 = n^{\textcolor{red}{0}}$) er $\textcolor{red}{q = 0}$ og høyeste eksponent i nevner ($n^{\textcolor{blue}{2}} + 5$) er $\textcolor{blue}{p = 2}$:

\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{0} = 2 > 1

Siden $\textcolor{blue}{q} \;-\; \textcolor{red}{p} > 1$, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon08:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{3n + 2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Hvert ledd i rekken er et polynom delt på et annet polynom:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}

der $\textcolor{red}{q}$ er høyeste eksponent i teller og $\textcolor{blue}{p}$ er høyeste eksponent i nevner.

Utvidet p-test gir:

  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$: Rekken konvergerer
  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$: Rekken divergerer

Løsning: Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller ($4 = 4n^{\textcolor{red}{0}}$) er $\textcolor{red}{q = 0}$ og høyeste eksponent i nevner ($3n + 5 = 3n^{\textcolor{blue}{1}} + 5$) er $\textcolor{blue}{p = 1}$:

\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{0} = 1 \leq 1

Siden $\textcolor{blue}{q} \;-\; \textcolor{red}{p} \leq 1$, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon09:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n + 2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer betinget (men ikke absolutt).

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Rekken alternerer og derfor må vi bruke Leibniz testen.

Dersom:

  • Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
  • Leddene, $a_n$ går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty}a_n = 0

konvergerer rekken betinget. Rekken konvergerer absolutt dersom absoluttverdien av rekken også konvergerer.

Løsning: Siden rekken konvergerer, må vi bruke Leibniz testen:

Absoluttverdien av leddene avtar:

|a_n| = \frac{1}{3n + 2} < \frac{1}{3(n+1) + 2} = |a_{n+1}|

Og leddene går mot null når $n$ blir stor:

\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{3n + 2} = 0

Siden begge kravene er tilfredsstilt, konvergerer rekken betinget.

Ifølge forrige eksempel, divergerer følgende rekke:

\sum_{n = 0}^{\infty} |a_n| = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3n + 2}

Derfor konvergerer rekken ikke absolutt.

Video: Under produksjon

Oppgave kon10:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n^2 + 5n + 7}{4n - 1}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Hvert ledd i rekken er et polynom delt på et annet polynom:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}

der $\textcolor{red}{q}$ er høyeste eksponent i teller og $\textcolor{blue}{p}$ er høyeste eksponent i nevner.

Utvidet p-test gir:

  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$: Rekken konvergerer
  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$: Rekken divergerer

Løsning: Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller ($2n^{\textcolor{red}{2}} + 5n + 7$) er $\textcolor{red}{q = 2}$ og høyeste eksponent i nevner ($4n \:-\: 1 = 4n^{\textcolor{blue}{1}} \:-\: 1$) er $\textcolor{blue}{p = 1}$:

\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{1} - \textcolor{red}{2} = -1 \leq 1

Siden $\textcolor{blue}{q} \;-\; \textcolor{red}{p} \leq 1$, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon11:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4n - 1}{2n^2 + 5n + 7}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Hvert ledd i rekken er et polynom delt på et annet polynom:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_0 + b_1 n + b_2 n^2 + \cdots + b_q n^{\textcolor{red}{q}}}{c_0 + c_1 n + c_2 n^2 + \cdots + c_p n^{\textcolor{blue}{p}}}

der $\textcolor{red}{q}$ er høyeste eksponent i teller og $\textcolor{blue}{p}$ er høyeste eksponent i nevner.

Utvidet p-test gir:

  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} > 1$: Rekken konvergerer
  • $\textcolor{blue}{p} \;-\; \textcolor{red}{q} \leq 1$: Rekken divergerer

Løsning: Hvert ledd er et polynom delt på et annet polynom. Derfor kan vi bruke utvidet p-test. Høyeste eksponent i teller ($4n \:-\: 1 = 4n^{\textcolor{red}{1}} \:-\: 1$) er $\textcolor{red}{q = 1}$ og høyeste eksponent i nevner ($2n^{\textcolor{blue}{2}} + 5n + 7$) er $\textcolor{blue}{p = 2}$:

\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q} = \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1} = 1 \leq 1

Siden $\textcolor{blue}{q} \;-\; \textcolor{red}{p} \leq 1$, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon12:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\textcolor{blue}{n+1}} } { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøker:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \textcolor{red}{n} (\textcolor{blue}{n+1})} { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}} \cdot \textcolor{red}{n} (\textcolor{blue}{n+1})} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\cancel{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot \textcolor{red}{n} (\cancel{\textcolor{blue}{n+1}})} { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\cancel{\textcolor{red}{n}}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{n}} (\textcolor{blue}{n+1})} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1} \cdot n}{2^n \cdot (n+1)} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\cancel{2^n} \cdot 2 \cdot n}{\cancel{2^n} \cdot (n+1)} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+1} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot \frac{1}{n}}{(n+1) \cdot \frac{1}{n}} \\
\textnormal{Multipliserer:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$:} \quad
L & = 2  > 1
\end{aligned}

Siden grensen er større enn èn, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon13:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{(\textcolor{blue}{n+1})^2} } { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}^2}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøker:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{(\textcolor{blue}{n+1})^2} \cdot \textcolor{red}{n}^2 (\textcolor{blue}{n+1})^2} { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}^2} \cdot \textcolor{red}{n}^2 (\textcolor{blue}{n+1})^2} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^2}} \cdot \textcolor{red}{n} \cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^2}} { \frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\cancel{\textcolor{red}{n}^2}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{n}^2} (\textcolor{blue}{n+1})} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1} \cdot n^2}{2^n \cdot (n+1)^2} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\cancel{2^n} \cdot 2 \cdot n^2}{\cancel{2^n} \cdot (n+1)^2} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{(n+1)^2} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 \cdot \frac{1}{n^2}}{(n+1)^2 \cdot \frac{1}{n^2}} \\
\textnormal{Multipliserer:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$:} \quad
L & = 2  > 1
\end{aligned}

Siden grensen er større enn èn, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon14:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)!}{n^2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1} + 2)!}{(\textcolor{blue}{n+1})^2} } { \frac{(\textcolor{red}{n} + 2)!}{\textcolor{red}{n}^2}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøker:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(n+3)!}{(\textcolor{blue}{n+1})^2} \cdot \textcolor{red}{n}^2 (\textcolor{blue}{n+1})^2} { \frac{(n + 2)!}{\textcolor{red}{n}^2} \cdot \textcolor{red}{n}^2 (\textcolor{blue}{n+1})^2} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(n+3)!}{\cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^2}} \cdot \textcolor{red}{n}^2 \cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^2}} { \frac{(n+2)!}{\cancel{\textcolor{red}{n}^2}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{n}^2} (\textcolor{blue}{n+1})^2} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+3)! \cdot \textcolor{red}{n}^2}{(n+2)! \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^2} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\cancel{1} \!\! \cdot \!\! \cancel{2} \!\! \cdot \!\!  \cancel{3} \cdots \cancel{(n+2)} (n+3) \cdot \textcolor{red}{n}^2}{\cancel{1} \!\! \cdot \!\! \cancel{2} \!\! \cdot \!\!  \cancel{3} \cdots \cancel{(n+2)} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^2} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 3) \cdot n^2}{(n+1)^2} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 3) \cdot n^2 \cdot \frac{1}{n^2}}{(n+1)^2 \cdot \frac{1}{n^2}} \\
\textnormal{Multipliserer:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 3}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$:} \quad
L & = \infty  > 1
\end{aligned}

Siden grensen er større enn èn, divergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon15:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+2)!}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{(\textcolor{blue}{n+1} + 2)!}}{ \frac {\textcolor{red}{n}^2}{(\textcolor{red}{n} + 2)!}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøker:} \quad
L &= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{(\textcolor{blue}{n} + 3)!} \cdot (\textcolor{blue}{n}+3)! (\textcolor{red}{n}+2)!}{ \frac {\textcolor{red}{n}^2}{(\textcolor{red}{n} + 2)!} \cdot (\textcolor{blue}{n}+3)! (\textcolor{red}{n}+2)!} \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L &= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1})^2}{\cancel{(\textcolor{blue}{n} + 3)!}} \cdot \cancel{(\textcolor{blue}{n}+3)!} (\textcolor{red}{n}+2)!}{ \frac {\textcolor{red}{n}^2}{\cancel{(\textcolor{red}{n} + 2)!}} \cdot (\textcolor{blue}{n}+3)! \cancel{(\textcolor{red}{n}+2)!}} \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L &= \lim_{n \to \infty} 
\frac{ (\textcolor{blue}{n+1})^2 \cdot (\textcolor{red}{n}+2)!}{\textcolor{red}{n}^2 \cdot (\textcolor{blue}{n}+3)! } \\
\textnormal{Forkorter:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{ (\textcolor{blue}{n+1})^2 \cdot \cancel{1} \!\! \cdot \!\! \cancel{2} \!\! \cdot \!\!  \cancel{3} \cdots \cancel{(n+2)} }{\textcolor{red}{n}^2 \cdot \cancel{1} \!\! \cdot \!\! \cancel{2} \!\! \cdot \!\!  \cancel{3} \cdots \cancel{(n+2)} \cdot (n+3) } \\
\textnormal{Rydder:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{ (\textcolor{blue}{n+1})^2 }{\textcolor{red}{n}^2 (n+3) } \\
\textnormal{Multipliserer:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{ n^2 + 2n + 1}{n^3 + 3n^2} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 2n + 1) \cdot \frac{1}{n^3}}{(n^3 + 3n^2) \cdot \frac{1}{n^3}} \\
\textnormal{Multipliserer:} \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{3}{n}} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$:} \quad
L & = 0 < 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon16:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{4^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Med litt omskrivning ser vi at rekken er en geometrisk rekke $a_n = kr^n$ og vi kan derfor bruke testen for geometriske rekker:

  • Dersom $|r| < 1$ konvergerer rekken
  • Dersom $|r| \le 1$ divergerer rekken

Forholdstesten kan også brukes her.

Løsning: Rekken er en geometrisk rekke:

a_n = \frac{3^n}{4^n} = \textcolor{blue}{1} \cdot \left( \textcolor{red}{\frac{3}{4}} \right)^n = \textcolor{blue}{k}\textcolor{red}{r}^n

der $\textcolor{blue}{k = 1}$ og $\textcolor{red}{r = \frac{3}{4}}$. Siden $|\textcolor{red}{r}| < 1$, konvergerer rekken.

Alternativt kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{3^{\textcolor{red}{n}}}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} { \frac{3^{\textcolor{red}{n}}}{4^{\textcolor{red}{n}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\cancel{4^{\textcolor{blue}{n+1}}}} \cdot \cancel{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} { \frac{3^{\textcolor{red}{n}}}{\cancel{4^{\textcolor{red}{n}}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \cancel{4^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{ 3^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} {3^{\textcolor{red}{n}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{\cancel{3^n} \cdot 3 \cdot \cancel{4^n}} {\cancel{3^n} \cdot \cancel{4^n} \cdot 4 } \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$: } \quad
L &  = \frac{3}{4} < 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon17:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 3^n}{4^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} } { \frac{\textcolor{red}{n} \cdot 3^{\textcolor{red}{n}}}{4^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty}
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} { \frac{\textcolor{red}{n} \cdot  3^{\textcolor{red}{n}}}{4^{\textcolor{red}{n}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{ \frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\cancel{4^{\textcolor{blue}{n+1}}}} \cdot \cancel{4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} { \frac{\textcolor{red}{n} \cdot 3^{\textcolor{red}{n}}}{\cancel{4^{\textcolor{red}{n}}}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \cancel{4^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{ (\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot 4^{\textcolor{red}{n}}} {\textcolor{red}{n} \cdot 3^{\textcolor{red}{n}} \cdot 4^{\textcolor{blue}{n+1}}} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} 
\frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot \cancel{3^n} \cdot 3 \cdot \cancel{4^n}} {\textcolor{red}{n} \cdot \cancel{3^n} \cdot \cancel{4^n} \cdot 4 } \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3}{\textcolor{red}{n} \cdot 4} \\
\textnormal{Deler på høyeste potens: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{(\textcolor{blue}{n+1}) \cdot 3 \cdot \frac{1}{n}}{\textcolor{red}{n} \cdot 4 \cdot \frac{1}{n}} \\
\textnormal{Multipliserer: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot 3}{4} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$: } \quad
L &  = \frac{3}{4} < 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon18:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100}}{n!}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100}}{(\textcolor{blue}{n+1})!}}{\frac{\textcolor{red}{n}^{100}}{\textcolor{red}{n}!}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100}}{(\textcolor{blue}{n+1})!} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})! \cdot \textcolor{red}{n}!}{\frac{\textcolor{red}{n}^{100}}{\textcolor{red}{n}!} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})! \cdot \textcolor{red}{n}!} \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100}}{\cancel{(\textcolor{blue}{n+1})!}} \cdot \cancel{(\textcolor{blue}{n+1})!} \cdot \textcolor{red}{n}!}{\frac{\textcolor{red}{n}^{100}}{\cancel{\textcolor{red}{n}!}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})! \cdot \cancel{\textcolor{red}{n}!}} \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100} \cdot \textcolor{red}{n}!}{\textcolor{red}{n}^{100} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})! } \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100} \cdot \cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{n}}{\textcolor{red}{n}^{100} \cdot \cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{n} \cdot (n+1) } \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{100}}{\textcolor{red}{n}^{100} \cdot (n+1) } \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{99}}{\textcolor{red}{n}^{100} } \\
\textnormal{Deler på høyeste potens: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{(\textcolor{blue}{n+1})^{99} \cdot \frac{1}{n^{100}}}{\textcolor{red}{n}^{100} \cdot \frac{1}{n^{100}}} \\
\textnormal{Multipliserer: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{99} \cdot \frac{1}{n}}{1} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$: } \quad
L &  = \frac{1 \cdot 0 }{1} = 0 < 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon19:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: Her kan vi bruke forholdstesten:

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Dersom:

  • L < 1: Rekken konvergerer
  • L = 1: Ingen konklusjon
  • L > 1: Rekken divergerer

Løsning: Her kan vi bruke forholdstesten:

\begin{aligned}
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{\textcolor{blue}{n+1}}}{a_{\textcolor{red}{n}}} \right| 
&= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}}}
}{\frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}}} \\
\textnormal{Blir kvitt småbrøkene: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}
}{\frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}} } \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{\frac{2^{\textcolor{blue}{n+1}}}{\cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}}}} \cdot \cancel{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}}} \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}
}{\frac{2^{\textcolor{red}{n}}}{\cancel{\textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \cancel{\textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}} } \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{ 2^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}
}{2^{\textcolor{red}{n}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} } \\
\textnormal{Forkorter: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{ \cancel{2^{\textcolor{blue}{n}}} \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}
}{\cancel{2^{\textcolor{red}{n}}} \cdot (\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} } \\
\textnormal{Rydder: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{ 2 \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}}
}{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} } \\
\textnormal{Deler på høyeste potens: } \quad
L &= \lim_{n \to \infty}
\frac{  2 \cdot \textcolor{red}{n}^{\textcolor{red}{n}} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}
}{(\textcolor{blue}{n+1})^{\textcolor{blue}{n+1}} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}} \\
\textnormal{Multipliserer: } \quad
L & = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \frac{1}{n}}{\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}} \\
\textnormal{Lar $n \to \infty$: } \quad
L &  = \frac{0}{1} = 0 < 1
\end{aligned}

Siden grensen er mindre enn èn, konvergerer rekken.

Video: Under produksjon

Oppgave kon20:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \cos \left( \frac{1}{n+1} \right)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken divergerer.

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken test som kan brukes.

Hint 2: I divergenstesten finner vi grensen:

\lim_{n \to \infty} a_n
  • Dersom grensen er ulik null eller ikke eksisterer, divergerer rekken.
  • Dersom grensen er lik null har vi ingen konklusjon.

Løsning: Her kan vi bruke divergenstesten:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \cos \left( \frac{1}{n+1} \right) = \cos(0) = 1 > 0

Siden grensen er ulik null, viser divergenstesten at rekken divergerer.

Video: Under produksjon

Oppgave kon21:

Konvergerer rekken?

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{2n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Rekken konvergerer betinget (men ikke absolutt).

Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne riktig test.

Hint 2: Rekken alternerer og derfor må vi bruke Leibniz testen.

Dersom:

  • Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
  • Leddene, $a_n$ går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty}a_n = 0

konvergerer rekken betinget. Rekken konvergerer absolutt dersom rekken av absoluttverdien av leddene også konvergerer.

Løsning: Først ser vi på $\cos(n\pi)$:

$n$1234
$\cos(n\pi)$-11-11
$(-1)^n$-11-11

Siden $\cos(n\pi)$ alternerer mellom (-1) og 1, har vi:

\cos(n\pi) = (-1)^n

Siden rekken konvergerer, må vi bruke Leibniz testen:

Absoluttverdien av leddene avtar:

|a_n| = \left| \frac{(-1)^n}{2n} \right| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{2(n+1)} = \left| \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+1)} \right| = |a_{n+1}|

Og leddene går mot null når $n$ blir stor:

\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{2n} = 0

Siden begge kravene er tilfredsstilt, konvergerer rekken betinget.

Rekken til asoluttverdien av leddene er en p-rekke:

\sum_{n = 1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{p} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\textcolor{red}{1}}}

Siden $\textcolor{red}{p=1}$, divergerer denne rekken. Derfor konvergerer den alternerende rekken ikke absolutt.

Video: Under produksjon

Oppgave sum01:

Finn summen av rekken dersom den eksisterer:

\sum_{n=0}^{10} 2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Summen er 20.

Hint 1: Rekken er en endelig rekke, dvs. øvre grense er ikke uendelig.

Hint 2: Summen av en endelig rekke er:

\sum_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{N}} a_n = a_{\textcolor{blue}{0}} + a_1 + a_2 + \cdots  + a_{N-1} + a_{\textcolor{red}{N}}

Løsning: Summen av den endelige rekken:

\begin{aligned}
\sum_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} \underbrace{2}_{a_n}
& = \underbrace{2}_{a_{\textcolor{blue}{0}}} + \underbrace{2}_{a_1} + \underbrace{2}_{a_2} + \cdots + \underbrace{2}_{a_9} + \underbrace{2}_{a_{\textcolor{red}{10}}}\\    
\Rightarrow \quad \sum_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{10}} 2 & = 22
\end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave sum02:

Finn summen av rekken dersom den eksisterer:

\sum_{n=4}^{6} \frac{1}{7} n^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Summen er 11.

Hint 1: Rekken er en endelig rekke, dvs. øvre grense er ikke uendelig.

Hint 2: Summen av en endelig rekke er:

\sum_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{N}} a_n = a_{\textcolor{blue}{0}} + a_1 + a_2 + \cdots  + a_{N-1} + a_{\textcolor{red}{N}}

Løsning: Summen av den endelige rekken:

\begin{aligned}
\sum_{\textcolor{blue}{4}}^{\textcolor{red}{6}} \underbrace{\frac{1}{7} n^2}_{a_n}
& = \underbrace{\frac{1}{7} \cdot 4^2}_{a_{\textcolor{blue}{4}}} + \underbrace{\frac{1}{7} \cdot 5^2}_{a_5} + \underbrace{\frac{1}{7} \cdot 6^2}_{a_{\textcolor{red}{6}}}\\    
\Rightarrow \quad \sum_{\textcolor{blue}{4}}^{\textcolor{red}{6}} \frac{1}{7} n^2 & = 11
\end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave sum03:

Finn summen av rekken dersom den eksisterer:

\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot 0.5^{n-1}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Summen av rekken er 4.

Hint 1: Rekken er en geometrisk rekke.

Hint 2: En geometrisk rekke er en rekke på formen:

\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}

Dersom $|\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1} = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}}

Løsning: Rekken er en geometrisk rekke:

\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}
= \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0.5}^{n-1}

Siden $|\textcolor{red}{0.5}| = |\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}} = \frac{\textcolor{blue}{2}}{1 - \textcolor{red}{0.5}} = 4

Video: Under produksjon

Oppgave sum04:

Finn summen av rekken dersom den eksisterer:

\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot 0.5^n

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Summen av rekken er 2.

Hint 1: Rekken er en geometrisk rekke.

Hint 2: En geometrisk rekke er en rekke på formen:

\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}

Dersom $|\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1} = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}}

Løsning: Rekken er en geometrisk rekke:

\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}
= \sum_1^{\infty} 2 \cdot 0.5^n 
= \sum_1^{\infty} 2 \cdot 0.5^1 \cdot 0.5^{n-1} 
= \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0.5}^{n-1}

Siden $|\textcolor{red}{0.5}| = |\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{0.5}} = 2

Video: Under produksjon

Oppgave sum05:

Finn summen av rekken dersom den eksisterer:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{20}{4^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Summen av rekken er $\frac{20}{3}$.

Hint 1: Rekken er en geometrisk rekke.

Hint 2: En geometrisk rekke er en rekke på formen:

\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}

Dersom $|\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1} = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}}

Løsning: Rekken er en geometrisk rekke. Først skriver vi rekken litt om:

\sum_1^{\infty} \frac{20}{4^n} 
= \sum_1^{\infty} 20 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n 
= \sum_1^{\infty} 20 \cdot \frac{1}{4}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} 
= \sum_1^{\infty} 5 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}
\\ \Rightarrow \quad 
\sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{r}^{n-1}
= \sum_1^{\infty} \textcolor{blue}{5} \cdot \left( \textcolor{red}{\frac{1}{4}} \right) ^{n-1}

Siden $\left|\textcolor{red}{\frac{1}{4}}\right| = |\textcolor{red}{r}| < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{\textcolor{blue}{a}}{1 - \textcolor{red}{r}} = \frac{\textcolor{blue}{5}}{1 - \textcolor{red}{\frac{1}{4}}} = \frac{20}{3}

Video: Under produksjon

Flere oppgaver kommer…

← Matematikk

Hvilken test skal jeg bruke?
Forholdstesten
Leibniz test
Geometrisk rekke
Potensrekker

→ Derivasjon