Oppgaver: Regneregler

Velg type oppgaver:
Alle oppgaver
Alle oppgaver
Regnerekkefølge
Brøk
Kvadratsetningene
Polynomdivisjon
Faktorisering
Potenser

Antall oppgaver:

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave rekke01:

Regn ut

1 + 2 + 3 + 4 \cdot 0

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $6$

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Multiplikasjon skal gjøres før addisjon.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å multiplisere før vi adderer:

1 + 2 + 3 + \textcolor{red}{4 \cdot 0} = 1 + 2 + 3 + \textcolor{red}{0} = 6

Video: Under produksjon

Oppgave rekke02:

Regn ut

4 + 2 \cdot 3^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $22$

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Eksponenter skal tas hensyn til før multiplikasjon. Addisjon gjøres sist.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å se på eksponenten først, deretter multiplikasjon og til sist addisjon:

4 + 2 \cdot \textcolor{red}{3^2} = 4 + 2 \cdot \textcolor{red}{9} = 4 + \textcolor{blue}{2 \cdot 9} = 4 + 18 = 22

Video: Under produksjon

Oppgave rekke03:

Regn ut

\frac{18 + 2}{2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: $10$

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: I brøker er det en skjult parentes i teller og nevner.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å først se på parenteser. I brøker er det en skjult parentes i teller og nevner: 

\frac{18 + 2}{2} = \frac{\textcolor{red}{(18 + 2)}}{2} = \frac{\textcolor{red}{20}}{2} = 10

Alternativt kan vi dele opp brøken (det er det samme som å dele begge ledd på 2):

\frac{18 + 2}{2} = \frac{18}{2} + \frac{2}{2} = 9 + 1 = 10

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave rekke04:

Regn ut

(x+2)(x-3)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

x^2 - x - 6

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Start med å dele opp den ene parentesen slik at begge ledd multipliseres med den andre parentesen:

(\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{2})(x-3) = \textcolor{red}{x}(x-3) + \textcolor{blue}{2}(x-3)

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å først se på parenteser. Start derfor med å dele opp den ene parentesen slik at du kan multiplisere begge ledd i den parentesen med den andre parentesen: 

\begin{aligned}
(\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{2})(x-3) 
&= \textcolor{red}{x}(x-3) + \textcolor{blue}{2}(x-3) \\
&= \textcolor{red}{x}x + \textcolor{red}{x} \cdot (-3) + \textcolor{blue}{2} \cdot x + \textcolor{blue}{2} \cdot (-3) \\
&= x^2 - 3x + 2x - 6 \\
&= x^2 - x - 6
\end{aligned}

Video: Under produksjon

Oppgave rekke05:

Forenkle dersom mulig:

\sqrt{x^2 + 9}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Uttrykket kan ikke forenkles

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Husk at det står en parentes under rottegnet. Du må se på parenteser før kvadratroten.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å først se på parenteser. Det står en skjult parentes under rottegnet: 

\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{(x^2 + 9)}

Selv om både $x^2$ og 9 er kvadrattall, så kan vi ikke finne kvadratroten av $x^2 + 9$. Uttrykket kan ikke forenkles.

PS: Hvis du er fristet til å tro at svaret er $x + 3$, så kvitt deg med den fristelsen så fort som mulig! Husk at $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ og her mangler vi det midterste leddet.

Video: Under produksjon

Oppgave rekke06:

Forenkle dersom mulig:

\sqrt{x^2 - 6x + 9}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

x - 3

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Husk at det står en parentes under rottegnet. Du kan bruke første kvadratsetning på det som står under rottegnet.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å først se på parenteser. Det står en skjult parentes under rottegnet: 

\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x^2 - 6x + 9)}

Nå kan vi bruke andre kvadratsetning på det som står i parentesen:

\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = x-3

Video: Under produksjon

Oppgave rekke07:

Forenkle dersom mulig:

3 + 2^2 + \sqrt{3^2 + 4^2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 12

Hint 1: Husk å bruke riktig regnerekkefølge.

Hint 2: Husk at det står en parentes under rottegnet.

Løsning:

Riktig regnerekkefølge er å først se på parenteser og deretter eksponenter og røtter. Det står en skjult parentes under rottegnet: 

3 + 2^2 + \sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 2^2 + \sqrt{25} = 3 + 4 + 5 = 12

Video: Under produksjon

Oppgave brok01:

Regn ut

\frac{3}{2} + \frac{2}{3}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\frac{13}{6}

Hint 1: To brøker må ha samme nevner for å kunne legges sammen.

Hint 2: Fellesnevneren er 6.

Løsning:

De to brøkene må ha felles nevner før de kan legges sammen:

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} 
= \frac{3 \textcolor{red}{\cdot 3}}{2 \textcolor{red}{\cdot 3}}
+ \frac{2 \textcolor{blue}{\cdot 2}}{3 \textcolor{blue}{\cdot 2}} 
= \frac{9}{6} + \frac{4}{6}
= \frac{9 + 4}{6}
= \frac{13}{6}

Video: Under produksjon

Oppgave brok02:

Regn ut

\frac{x}{2} + \frac{x}{5}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\frac{7x}{10}

Hint 1: To brøker må ha samme nevner for å kunne legges sammen.

Hint 2: Fellesnevneren er 10.

Løsning:

De to brøkene må ha felles nevner før de kan legges sammen:

\frac{x}{2} + \frac{x}{5} 
= \frac{x \textcolor{red}{\cdot 5}}{2 \textcolor{red}{\cdot 5}}
+ \frac{x \textcolor{blue}{\cdot 2}}{5 \textcolor{blue}{\cdot 2}} 
= \frac{5x}{10} + \frac{2x}{10}
= \frac{5x + 2x}{10}
= \frac{7x}{10}

Video: Under produksjon

Oppgave brok03:

Regn ut

\frac{x}{2} + \frac{3 - x}{4}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\frac{x+3}{4}

Hint 1: To brøker må ha samme nevner for å kunne legges sammen.

Hint 2: Fellesnevneren er 4.

Løsning:

De to brøkene må ha felles nevner før de kan legges sammen:

\frac{x}{2} + \frac{3-x}{4} 
= \frac{x \textcolor{red}{\cdot 2}}{2 \textcolor{red}{\cdot 2}}
+ \frac{3-x}{4} 
= \frac{2x}{4} + \frac{3-x}{4}
= \frac{2x + 3 - x}{4}
= \frac{x + 3}{4}

Video: Under produksjon

Oppgave brok04:

Forenkle dersom mulig

\frac{2 + x}{2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: Ikke mulig å forenkle

Hint 1: Husk at det står en skjult parentes i telleren.

Hint 2: Begge ledd i telleren skal deles på 2.

Løsning:

Du kan dele opp brøken: 

\frac{2+x}{2}
= \frac{2}{2} + \frac{x}{2}
= 1 + \frac{x}{2}

men er det egentlig et enklere uttrykk?

Video: Under produksjon

Oppgave brok05:

Forenkle dersom mulig

\frac{2 + 6x}{2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

1 + 3x

Hint 1: Husk at det står en skjult parentes i telleren.

Hint 2: Begge ledd i telleren skal deles på 2.

Løsning:

Du kan dele opp brøken: 

\frac{2+6x}{2}
= \frac{2}{2} + \frac{6x}{2}
= 1 + 3x

Alternativt kan du faktorisere telleren:

\frac{2 + 6x}{2} = \frac{2(1 + 3x)}{2} = \frac{\textcolor{red}{\cancel{2}}(1 + 3x)}{\textcolor{red}{\cancel{2}}} = 1 + 3x

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave brok06:

Forenkle dersom mulig

\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

\frac{2\pi}{3}

Hint 1: To brøker må ha samme nevner for å kunne legges sammen.

Hint 2: Fellesnevneren er 6.

Løsning:

De to brøkene må ha felles nevner før de kan legges sammen:

\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}
= \frac{\pi}{6} + \frac{\pi \textcolor{red}{\cdot 3}}{2 \textcolor{red}{\cdot 3}}
= \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6}

Både teller og nevner er delelig på 2. Derfor kan vi faktorisere og forkorte:

\frac{4\pi}{6} = \frac{\textcolor{red}{\cancel{2}} \cdot 2\pi}{\textcolor{red}{\cancel{2}} \cdot 3} = \frac{2\pi}{3}

Video: Under produksjon

Oppgave brok07:

Forenkle dersom mulig

\frac{2x}{x^2 + x}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

\frac{2}{x + 1}

Hint 1: Husk at det står en skjult parentes i nevneren.

Hint 2: Du må faktorisere før du kan forkorte en brøk.

Løsning:

Begge ledd i nevneren er delelig på $x$. Derfor kan vi faktorisere og forkorte:

\frac{2x}{x^2 + x} = \frac{2 \cdot x}{x(x + 1)} = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{\cancel{x}}}{\textcolor{red}{\cancel{x}}(x+1)} = \frac{2}{x+1}

Video: Under produksjon

Oppgave brok08:

Forenkle dersom mulig

\frac{16 - x^2}{x^2 - 2x - 8}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

-\frac{4 + x}{2 + x}

Hint 1: Husk at det står en skjult parentes i både telleren og nevneren.

Hint 2: Du må faktorisere før du kan forkorte en brøk.

Løsning:

Vi må faktorisere før vi kan forkorte en brøk. I telleren kan vi bruke tredje kvadratsetning (eller sette uttrykket lik null for å finne røttene):

x^2 - 16 = (x+4)(x-4)

Nevneren setter vi lik null for å finne røttene. Da må vi løse andregradsligningen:

\begin{aligned}
& x^2 \textcolor{blue}{- 2}x \textcolor{green}{- 8} = 0 \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-(\textcolor{blue}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ 
\Rightarrow \quad & x = \frac{2 \pm 6}{2} \\ 
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \textnormal{ og } x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 
\end{aligned}

Nå som vi har røttene, kan vi faktorisere nevneren:

\textcolor{red}{1}x^2 - 2x - 8 
= \textcolor{red}{1}(x - x_1)(x-x_2) = (x + 2)(x - 4)

Nå som vi har faktorisert både teller og nevner, kan vi se på brøken igjen:

\frac{16 - x^2}{x^2 - 2x - 8} = \frac{(4+x)\textcolor{blue}{(4-x)}}{(x+2)\textcolor{blue}{(x-4)}}

Vi ser at vi har to faktorer der alle fortegnene er forskjellige:

\textcolor{blue}{(4-x)} = -(-4 + x) = \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{(x - 4)}

som gir:

\frac{16 - x^2}{x^2 - 2x - 8} 
= \frac{(4+x)\textcolor{blue}{(4-x)}}{(x+2)\textcolor{blue}{(x-4)}}
= \frac{\textcolor{red}{-}(4+x) \cancel{\textcolor{blue}{(x-4)}}}{(x+2) \cancel{\textcolor{blue}{(x-4)}}}
= \textcolor{red}{-} \frac{x + 4}{x + 2}

(Vi har satt minustegnet foran og $4 + x = x + 4$ bare for å få et uttrykk som er mer estetisk.)

PS: Du trenger ikke gjøre alle stegene like grundig som vi har gjort her, men de er tatt med her fordi det er viktig at du forstår stegene.

Video: Under produksjon

Oppgave brok09:

Forenkle dersom mulig

\frac{17^{n+1}}{17^n}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 17

Hint 1: $17^n$ betyr at 17 ganges med seg selv $n$ ganger.

Hint 2: Husk at en eksponent kan deles opp:

a^{m + n} = \underbrace{(a \cdot a \cdot a \cdots a)}_{m + n} = \underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_m \underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_n = a^m a^n

Løsning:

Husk regelen for eksponenter:

a^{\textcolor{red}{m+n}} = a^{\textcolor{red}{m}} a^{\textcolor{red}{n}}

Hvis vi deler opp eksponenten i telleren, kan vi forkorte brøken:

\frac{17^{\textcolor{red}{n+1}}}{17^n} 
= \frac{17^{\textcolor{red}{n}} \cdot 17^{\textcolor{red}{1}}}{17^n}
= \frac{\textcolor{blue}{\cancel{17^n}} \cdot 17}{\textcolor{blue}{\cancel{17^n}}} 
= 17

Video: Under produksjon

Oppgave brok10:

Forenkle dersom mulig

\frac{n!}{(n+1)!}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

\frac{1}{n+1}

Hint 1: Utropstegnet er et fakutletstegn. Eksempel:

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

Hint 2: Husk at vi må faktorisere før vi kan forkorte en brøk.

Løsning:

Vi må faktorisere før vi kan forkorte en brøk:

\begin{aligned}
\frac{n!}{(n+1)!} 
& = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n \cdot (n+1)} \\
& = \frac{\cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{(n-1)} \cdot \cancel{n}}{\cancel{1} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdots \cancel{(n-1)} \cdot \cancel{n} \cdot (n+1)} \\
& = \frac{1}{n+1}
\end{aligned}

Hvis vi vil, kan vi skrive det litt mer kompakt:

\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{n! \cdot (n+1)} = \frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!} \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1}

Video: Under produksjon

Oppgave brok11:

Forenkle dersom mulig

\frac{5^3}{5^2 + 5^3}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit: 

\frac{5}{6}

Hint 1: 

5^3 = 5 \cdot 5^2

Hint 2: Husk at vi må faktorisere før vi kan forkorte en brøk.

Løsning:

Vi må faktorisere før vi kan forkorte en brøk:

\frac{5^3}{5^2 + 5^3} 
= \frac{5^2 \cdot 5}{5^2 (1 + 5)}
= \frac{\textcolor{red}{\cancel{5^2}} \cdot 5}{\textcolor{red}{\cancel{5^2}} (1+5)}
= \frac{5}{6}

Video: Under produksjon

Oppgave kvad01:

Regn ut

(x+2)^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

x^2 + 4x + 4

Hint 1: Bruk første kvadratsetning.

Hint 2: Første kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 + 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Bruker første kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 + 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = x}$ og $\textcolor{blue}{b = 2}$: 

(\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{2})^2 = \textcolor{red}{x}^2 + 2 \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{2}^2 = x^2 + 4x + 4

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(x + 2)^2
& = (\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{2})(x + 2) \\
& = \textcolor{red}{x}(x + 2) + \textcolor{blue}{2} (x + 2) \\
& = \textcolor{red}{x} \cdot x + \textcolor{red}{x} \cdot 2
 + \textcolor{blue}{2} \cdot x + \textcolor{blue}{2} \cdot 2 \\
& = x^2 + 2x + 2x + 4 \\
& = x^2 + 4x + 4
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave kvad02:

Regn ut

(2x+3)^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

4x^2 + 12x + 9

Hint 1: Bruk første kvadratsetning.

Hint 2: Første kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 + 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Bruker første kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 + 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = 2x}$ og $\textcolor{blue}{b = 3}$: 

(\textcolor{red}{2x} + \textcolor{blue}{3})^2 = (\textcolor{red}{2x})^2 + 2 \cdot (\textcolor{red}{2x}) \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{blue}{3}^2 = 4x^2 + 12x + 9

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(2x + 3)^2
& = (\textcolor{red}{2x} + \textcolor{blue}{3})(2x + 3) \\
& = \textcolor{red}{2x}(2x + 3) + \textcolor{blue}{3} (2x + 3) \\
& = \textcolor{red}{2x} \cdot 2x + \textcolor{red}{2x} \cdot 3
 + \textcolor{blue}{3} \cdot 2x + \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \\
& = 4x^2 + 6x + 6x + 9 \\
& = 4x^2 + 12x + 9
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave kvad03:

Regn ut

(3x-4)^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

9x^2 - 24x + 16

Hint 1: Bruk andre kvadratsetning.

Hint 2: Andre kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Bruker andre kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = 3x}$ og $\textcolor{blue}{b = 4}$: 

(\textcolor{red}{3x} - \textcolor{blue}{4})^2 = (\textcolor{red}{3x})^2 - 2 \cdot (\textcolor{red}{3x}) \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 9x^2 - 24x + 16

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(3x - 4)^2
& = (\textcolor{red}{3x} - \textcolor{blue}{4})(3x - 4) \\
& = \textcolor{red}{3x}(3x - 4) - \textcolor{blue}{4} (3x - 4) \\
& = \textcolor{red}{3x} \cdot 3x + \textcolor{red}{3x} \cdot (-4)
 - \textcolor{blue}{4} \cdot 3x - \textcolor{blue}{4} \cdot (-4) \\
& = 9x^2 - 12x - 12x + 16 \\
& = 9x^2 + 24x + 16
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave kvad04:

Regn ut

(4-3x)^2

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

9x^2 - 24x + 16

Hint 1: Bruk andre kvadratsetning.

Hint 2: Andre kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Bruker andre kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = 4}$ og $\textcolor{blue}{b = 3x}$: 

(\textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3x})^2 = \textcolor{red}{4}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3x} + (\textcolor{blue}{3x})^2 = 16 - 24x + 9x^2

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(4 - 3x)^2
& = (\textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3x})(4 - 3x) \\
& = \textcolor{red}{4}(4 - 3x) - \textcolor{blue}{3x} (4 - 3x) \\
& = \textcolor{red}{4} \cdot 4 + \textcolor{red}{4} \cdot (-3x)
 - \textcolor{blue}{3x} \cdot 4 - \textcolor{blue}{3x} \cdot (-3x) \\
& = 16 - 12x - 12x + 9x^2 \\
& = 9x^2 + 24x + 16
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave kvad05:

Regn ut

(4-x)(x-4)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

-x^2 + 8x - 16

Hint 1: Bruk andre kvadratsetning.

Hint 2: Andre kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Begge ledd i den første parentesen har motsatt fortegn i den andre parentesen. Vi kan sette minus foran den ene parentesen:

(4 - x) = -(-4 + x) = - (x-4)

som gir:

\textcolor{blue}{(4-x)}(x-4) = \textcolor{blue}{-(x-4)}(x-4) = -(x-4)^2

Bruker andre kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2 - 2 \textcolor{red}{a} \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = x}$ og $\textcolor{blue}{b = 4}$: 

\begin{aligned}
-(\textcolor{red}{x} - \textcolor{blue}{4})^2 
& = - \left(\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 \right) \\
& = - \left(x^2 - 8x + 16 \right) \\
& = -x^2 + 8x - 16
\end{aligned}

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(\textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{x})(x - 4) 
& = \textcolor{red}{4}(x - 4) - \textcolor{blue}{x} (x - 4) \\
& = \textcolor{red}{4} \cdot x + \textcolor{red}{4} \cdot (-4)
 - \textcolor{blue}{x} \cdot x - \textcolor{blue}{x} \cdot (-4) \\
& = 4x - 16 - x^2 + 4x \\
& = - x^2 + 8x - 16
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave kvad06:

Regn ut

(x+4)(x-4)

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

x^2 - 16

Hint 1: Bruk tredje kvadratsetning.

Hint 2: Tredje kvadratsetning sier at:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b}) = \textcolor{red}{a}^2 - \textcolor{blue}{b}^2

Løsning:

Bruker tredje kvadratsetning:

(\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})(\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b}) = \textcolor{red}{a}^2 - \textcolor{blue}{b}^2

med $\textcolor{red}{a = x}$ og $\textcolor{blue}{b = 4}$: 

(\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{4})(\textcolor{red}{x} - \textcolor{blue}{4})
= \textcolor{red}{x}^2 - \textcolor{blue}{4}^2 = x^2 - 16

Alternativt kan du dele opp den ene parentesen slik at alle ledd i den ene parentesen multipliseres med den andre parentesen:

\begin{aligned}
(\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{4})(x - 4) 
& = \textcolor{red}{x}(x - 4) + \textcolor{blue}{4} (x - 4) \\
& = \textcolor{red}{x} \cdot x + \textcolor{red}{x} \cdot (-4)
 + \textcolor{blue}{4} \cdot x + \textcolor{blue}{4} \cdot (-4) \\
& = x^2 - 4x + 4x -16 \\
& = x^2 - 16
\end{aligned}

som gir samme svar.

Video: Under produksjon

Oppgave pd01:

Utfør polynomdivisjonen:

\frac{2x + 4}{x+1}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\frac{2x + 4}{x+1} = 2 + \frac{2}{x+1}

Hint 1: Her må bruke polynomdivisjon.

Hint 2: Første ledd er hvor mange ganger $x$ går opp i $2x$:

\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{2x} + 4) : (\textcolor{red}{x} + 1) = \textcolor{red}{2} + \cdots \\
& \;\: \textcolor{blue}{2x + 2}
\end{aligned}

Løsning:

Vi bruker polynomdivisjonen:

\begin{aligned}
& (2x + 4) : (x + 1) = 2 + \frac{2}{x+1}\\
- & \; \underline{2x + 2} \\
& \qquad \;\; 2 \\
- & \qquad \;\; \underline{2} \\
& \qquad \;\; 0
\end{aligned}

Vi bør sjekke svaret:

\begin{aligned}
\textcolor{red}{(x + 1)} \cdot \left( \textcolor{blue}{2} + \textcolor{green}{\frac{2}{x+1}} \right) 
&= \textcolor{red}{(x + 1)} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{(x + 1)} \cdot \textcolor{green}{\frac{2}{x+1}} \\
&= (x+1) \cdot 2 + \cancel{(x+1)} \cdot \frac{2}{\cancel{x+1}} \\
&= 2x + 2 + 2 \\
&= 2x + 4
\end{aligned}

Ok

Video: Under produksjon

Oppgave pd02:

Utfør polynomdivisjonen:

\frac{2x^2 + x + 4}{x+1}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

2x - 1 + \frac{5}{x+1}

Hint 1: Her må bruke polynomdivisjon.

Hint 2: Første ledd er hvor mange ganger $x$ går opp i $2x^2$:

\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{2x^2} + x +  4) : (\textcolor{red}{x} + 1) = \textcolor{red}{2x} + \cdots \\
& \;\: \textcolor{blue}{2x^2 + 2x}
\end{aligned}

Løsning:

Vi bruker polynomdivisjonen:

\begin{aligned}
& (2x^2 + x + 4) : (x + 1) = 2x - 1 + \frac{5}{x+1}\\
- &  \underline{(2x^2 + 2x)} \\
& \qquad -x  + 4\\
- & \qquad \underline{(-x - 1)} \\
& \qquad \qquad \;\;\; 5 \\
-& \qquad \qquad \;\;\; \underline{5} \\
& \qquad \qquad \;\;\; 0
\end{aligned}

Vi bør sjekke svaret:

\begin{aligned}
&(x + 1) \cdot \left( \textcolor{red}{2x} - \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{\frac{5}{x+1}} \right) \\
&= (x + 1) \cdot \textcolor{red}{2x} + (x + 1) \cdot \textcolor{blue}{(-1)} + (x+1) \cdot \textcolor{green}{\frac{5}{x+1}} \\
&= (x+1) \cdot 2x + (x+1) \cdot (-1) + \cancel{(x+1)} \cdot \frac{5}{\cancel{x+1}} \\
&= 2x^2 + 2x - x - 1 + 5 \\
&= 2x^2 + x + 4
\end{aligned}

Ok

Video: Under produksjon

Oppgave pd03:

Utfør polynomdivisjonen:

\frac{3x^3 - 2x^2 - x}{x-1}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

2x - 1 + \frac{5}{x+1}

Hint 1: Her må bruke polynomdivisjon.

Hint 2: Første ledd er hvor mange ganger $x$ går opp i $2x^2$:

\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{3x^3} - 2x^2  - x) : (\textcolor{red}{x} - 1) = \textcolor{red}{3x^2} + \cdots \\
& \;\: \textcolor{blue}{3x^3 - 3x^2}
\end{aligned}

Løsning:

Vi bruker polynomdivisjonen:

\begin{aligned}
& (3x^3 - 2x^2 - x) : (x - 1) = 3x^2  + x \\
- &  \underline{(3x^3 - 3x^2)} \\
& \qquad \quad \;x^2  - x\\
- & \qquad \quad \underline{(x^2 - x)} \\
& \qquad \qquad \quad \;\;0
\end{aligned}

Vi bør sjekke svaret:

\begin{aligned}
&(x - 1) \cdot \left( \textcolor{red}{3x^2} + \textcolor{blue}{x} \right) \\
&= (x - 1) \cdot \textcolor{red}{3x^2} + (x - 1) \cdot \textcolor{blue}{x} \\
&= 3x^3 - 3x^2 + x^2 - x \\
&= 3x^3 - 2x^2 - x
\end{aligned}

Ok

Video: Under produksjon

Oppgave fak01:

Faktoriser hvis mulig:

2x + 4

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

2(x + 2)

Hint 1: Å faktorisere vil si å skrive et tall som produktet av to eller flere faktorer, f.eks. er $x^2 + 4x = x(x+4)$.

Hint 2: Begge ledd har faktoren 2. Derfor kan vi sette 2 utenfor en parentes.

Løsning:

Begge tall har faktoren 2:

2x + 4 = \textcolor{red}{2}x + \textcolor{red}{2} \cdot 2 
= \textcolor{red}{2} (x + 2)

Merk at når $x = -2$ blir $2x + 4 = 0$. Det vil også fortelle oss at $(x + 2)$ er en faktor.

Video: Under produksjon

Oppgave fak02:

Faktoriser hvis mulig:

3x^3 - 2x^2 - x

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

x(x - 1)(3x + 1)

Hint 1: Å faktorisere vil si å skrive et tall som produktet av to eller flere faktorer. F.eks. er $x^2 + 5x = x(x+5)$.

Hint 2: Alle ledd har faktoren $x$.

Løsning:

Alle ledd har faktoren $x$:

3x^3 - 2x^2 - x = 3x^2 \cdot \textcolor{red}{x} - 2x \cdot \textcolor{red}{x} - 1 \cdot \textcolor{red}{1} = (3x^2 - 2x - 1)x

Løser andregradsligningen:

\textcolor{red}{3}x^2 \textcolor{blue}{-2}x \textcolor{green}{-1} = 0 \\
\begin{aligned}
x & = \frac{-(\textcolor{blue}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1}) }}{2 \cdot \textcolor{red}{3}} \\
\Rightarrow \qquad x & = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \\
\Rightarrow \qquad x & = \frac{2 \pm 4}{6} \\
\Rightarrow \qquad & \!\!\!\!\!\! \left\{
\begin{array}{l}
x_1 = \frac{2-4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \\
x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1
\end{array} \right.
\end{aligned}

Dermed vet vi at:

\begin{aligned}
\textcolor{red}{3}x^2 - 2x - 1 &= \textcolor{red}{3}(x-x_1)(x-x_2) \\
&= \textcolor{red}{3} \left( x - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) (x - 1) \\
&= (3x + 1)(x-1)
\end{aligned}

og

3x^3 - 2x^2 - x = \textcolor{blue}{(3x^2 - 2x - 1)}x = \textcolor{blue}{(3x+1)(x-1)}x

Du bør sjekke faktoriseringen ved å multiplisere faktorene for å få utgangspunktet.

Video: Under produksjon

Oppgave fak03:

Faktoriser hvis mulig:

x^3 + x^2 - 4x - 4

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

(x+2)(x-2)(x+1)

Hint 1: Å faktorisere vil si å skrive et tall som produktet av to eller flere faktorer. F.eks. er $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$.

Hint 2: Siden dette er et tredjegrads uttrykk, må du først lete etter en verdi for $x = x_0$ som gjør at uttrykket er lik null. Da er $(x-x_0)$ en faktor. Deretter kan du bruke polynomdivisjon og få et andregrads uttrykk.

Løsning:

Siden dette er et tredjegrads uttrykk, må vi letter etter en verdi for $x$ som gjør at uttrykket er lik null:

\begin{aligned}
x = 0: \quad & \textcolor{red}{0}^3 + \textcolor{red}{0}^2 - 4\cdot \textcolor{red}{0} - 4 = -4 \neq 0 \\
x = 1: \quad & \textcolor{red}{1}^3 + \textcolor{red}{1}^2 - 4\cdot \textcolor{red}{1} - 4 = -6 \neq 0 \\
x = -1: \quad & (\textcolor{red}{-1})^3 + (\textcolor{red}{-1})^2 - 4\cdot (\textcolor{red}{-1}) - 4 = 0 
\end{aligned}

Siden $x = -1$ gir at uttrykket blir null, er $(x-(-1)) = (x+1)$ en faktor. Da kan vi bruke polynomdivisjon:

\begin{aligned}
& (x^3 + x^2 - 4x - 4) : (x + 1) = x^2  - 4 \\
- &  \underline{(x^3  + x^2)} \\
& \qquad \;\;\; 0  - 4x - 4 \\
- & \;\: \qquad \quad \underline{(-4x - 4)} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad 0
\end{aligned}

Dermed vet vi at:

x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x^2 - 4)(x+1)

Nå kan vi enten løse andregradsligningen ($x^2 – 4 = 0$) eller bruke tredje kvadratsetning:

x^3 + x^2 - 4x - 4 = \textcolor{blue}{(x^2 - 4)}(x+1) = \textcolor{blue}{(x+2)(x-2)}(x+1)

Du bør sjekke faktoriseringen ved å multiplisere faktorene for å få utgangspunktet.

Video: Under produksjon

Oppgave pot01:

Trekk sammen hvis mulig

\frac{x^2 \cdot x^3}{x^4}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

x

Hint 1: Her kan vi bruke potensreglene:

a^m \cdot a^n = a^{m + n} \\
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Hint 2: Siden både $x^2$ og $x^3$ har samme grunntall, nemlig $x$, kan du legge sammen potensene:

\textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{x^3} = (\textcolor{red}{x \cdot x}) \cdot (\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x}) = x^{\textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3}} = x^5

Løsning:

Denne oppgaven kan vi løse på minst to måter. Vi kan bruke formler eller forståelse.

Hvis du vil bruke potensregler kan du først bruke $a^{\textcolor{red}{m}} \cdot a^{\textcolor{blue}{n}} = x^{\textcolor{red}{m} + \textcolor{blue}{n}}$ og deretter $\frac{a^{\textcolor{purple}{m}}}{a^{\textcolor{green}{n}}} = x^{\textcolor{purple}{m} – \textcolor{green}{n}}$:

\frac{x^{\textcolor{red}{2}} \cdot x^{\textcolor{blue}{3}}}{x^4} = \frac{x^{\textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3}}}{x^4} = \frac{x^{\textcolor{purple}{5}}}{x^{\textcolor{green}{4}}} = x^{\textcolor{purple}{5}-\textcolor{green}{4}} = x^1 = x

Siden potensene er såpass lave, kan du også bare bruke forståelse:

\frac{\textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{x^3}}{\textcolor{green}{x^4}} = \frac{(\textcolor{red}{x \cdot x}) \cdot (\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x})}{\textcolor{green}{x \cdot x \cdot x \cdot x}} = \frac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x} \cdot x}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x}} = x

Video: Under produksjon

Oppgave pot02:

Trekk sammen hvis mulig

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3}

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

x^2

Hint 1: Her kan vi bruke potensreglene:

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \\
(a^m)^n = a^{m \cdot n} \\
a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Hint 2: Du kan skrive om $\sqrt{x^3}$:

\textcolor{red}{\sqrt{\textcolor{black}{x}^{\textcolor{blue}{3}}}} = (x^{\textcolor{blue}{3}})^{\textcolor{red}{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}} = x^{\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}}

Løsning:

Her kan du bruke potensregler:

\begin{aligned}
\textcolor{red}{\sqrt{\textcolor{black}{a}}} = a^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}} 
\quad \Rightarrow \quad  & \textcolor{red}{\sqrt{\textcolor{black}{x}}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{\textcolor{black}{x^3}}} = x^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}} \cdot (x^3)^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}} \\
(a^{\textcolor{blue}{m}})^{\textcolor{red}{n}} = a^{\textcolor{blue}{m} \:\cdot\: \textcolor{red}{n}} 
\quad \Rightarrow \quad & x^{\frac{1}{2}} \cdot (x^{\textcolor{blue}{3}})^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\textcolor{blue}{3} \:\cdot\: \textcolor{red}{\frac{1}{2}}} \\
\Rightarrow \quad & \sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} \\
a^{\textcolor{red}{m}} \cdot a^{\textcolor{blue}{n}} = a^{\textcolor{red}{m} + \textcolor{blue}{n}}
\quad \Rightarrow \quad & \sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3} = x^{\frac{1}{2} +\frac{3}{2}} \\
\quad \Rightarrow \quad & \sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3} = x^2
\end{aligned}

Video: Under produksjon

Flere oppgaver kommer…

← Matematikk

Regnerekkefølge
Brøkregning
Kvadratsetningene
Polynomdivisjon
Faktorisering
Potensregler

→ Derivasjon