Alle oppgaver
Alle oppgaver
Definisjonen for Laplace transformOppgaver: Laplace transform
Velg type oppgaver:
Finn Laplace transformasjonen
DifferensialligningerAntall oppgaver:
Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Oppgave def01:
Bruk definisjonen for Laplace transformasjon til å regne ut:
\mathcal{L}(7)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(7) = \frac{7}{s}Hint 1: Definisjonen for Laplace transformasjon, er:
\mathcal{L}\big(f(t)\big) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \; dtdersom integralet eksisterer.
Hint 2: Sett $f(t) = 7$ og husk at vi integrerer med hensyn på $t$, dvs. at vi kan behandle $s$ på samme måte som en konstant mens vi integrerer.
Løsning:
Bruk definisjonen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
& \mathcal{L} \big( f(t) \big) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \; dt \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L} \big( 7 \big) = \int_0^{\infty} e^{-st} \cdot 7 \; dt \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L} \big( 7 \big) = 7 \int_0^{\infty} e^{-st} \; dt \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L} \big( 7 \big) = - \frac{7}{s} \left[ e^{-st} \right]_0^{\infty} \\
\end{aligned}Siden øvre grense går mot uendelig, må vi se på grensen:
\begin{aligned}
& \mathcal{L} \big( 7 \big) = \lim_{L \to \infty} \left(- \frac{7}{s} \left[ e^{-st} \right]_0^L \right) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L} \big( 7 \big) = \lim_{L \to \infty} \left(- \frac{7}{s} \left( e^{-sL} - e^0 \right)\right)
\end{aligned}$s$ kan ikke være null (dele på null er tull) eller mindre enn null ($e^{-sL}$ går mot uendelig og derfor eksisterer ikke integralet eller Laplace transformasjonen).
Når $s > 0$:
\begin{aligned}
& \mathcal{L} \big( f(t) \big)
= \lim_{L \to \infty} \left(- \frac{7}{s} \left( \underbrace{e^{-sL}}_{\to 0} - \underbrace{e^0}_{= 1} \right)\right)
= \frac{7}{s}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap01:
Regn ut:
\mathcal{L}(5)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(5) = \frac{5}{s}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 først og deretter 1.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 1 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 5 \big) = 5 \mathcal{L}\big(1\big) \\
\textnormal{Rad 1: } \quad & \mathcal{L}\big( 1 \big) = \frac{1}{s} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 5 \big) = 5 \cdot \frac{1}{s} = \frac{5}{s}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap02:
Regn ut:
\mathcal{L}(4t)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(4t) = \frac{4}{s^2}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 først og deretter 2.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 2 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 4t \big) = 4 \mathcal{L}\big(t\big) \\
\textnormal{Rad 2: } \quad & \mathcal{L}\big( t \big) = \frac{1}{s^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 4t \big) = 4 \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{4}{s^2}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap03:
Regn ut:
\mathcal{L}(3t^5)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(3t^5) = \frac{360}{s^6}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 først og deretter 3.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 3 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3t^5 \big) = 3 \mathcal{L}\big(t^5\big) \\
\textnormal{Rad 3: } \quad & \mathcal{L}\big( t^n \big) = \frac{n!}{s^{n+1}} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3t^5 \big) = 3 \cdot \frac{5!}{s^{5+1}} = \frac{360}{s^6}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap04:
Regn ut:
\mathcal{L}(2t + 8)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(2t + 8) = \frac{2}{s^2} + \frac{8}{s}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Har har du to ledd, og bør derfor bruke rad 14 først. Deretter kan du bruke rad 5 for å sette koeffisientene utenfor. Og til sist rad 1 og 2 for å finne Laplace transformen.
Løsning:
Siden uttrykket har to ledd, bruker vi først rad 14 i tabellen for Laplace transformasjon. Deretter bruker vi rad 15 for å sette koeffisientene utenfor:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 14: } \quad & \mathcal{L}\big( g(t) + h(t) \big) = \mathcal{L}\big(g(t) \big) + \mathcal{L} \big(h(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 2t + 8 \big) = \mathcal{L}\big(2t\big) + \mathcal{L}(8) \\
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 2t + 8 \big) = 2 \mathcal{L}\big(t\big) + 8 \mathcal{L}(1)
\end{aligned}Nå kan vi bruke rad 1 på ledd 2 og rad 2 på ledd 1 for å finne Laplace transformen:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 1: } \quad & \mathcal{L}\big( 1 \big) = \frac{1}{s} \\
\textnormal{Rad 2: } \quad & \mathcal{L}\big( t \big) = \frac{1}{s^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 2t + 8 \big) = 2 \cdot \frac{1}{s^2} + 8 \cdot \frac{1}{s}
\end{aligned}Svaret kan skrives på mange måter. Her er to eksempler:
\mathcal{L}(2t +8) = \frac{2}{s^2} + \frac{8}{s} = \frac{2}{s^2}(1 + 4s)Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap05:
Regn ut Laplace transformasjonen:
3e^{3t}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(3e^{3t}) = \frac{3}{s-3}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 først og deretter 4.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 4 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} \big) = 3 \mathcal{L}\big( e^{3t} \big) \\
\textnormal{Rad 4: } \quad & \mathcal{L}\big( e^{at} \big) = \frac{1}{s - a} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} \big) = 3 \cdot \frac{1}{s-3} = \frac{3}{s-3}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 3$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap06:
Regn ut Laplace transformasjonen:
3e^{-3t}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(3e^{-3t}) = \frac{3}{s+3}når $s > -3$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 og deretter rad 4.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 4 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{-3t} \big) = 3 \mathcal{L}\big( e^{-3t} \big) \\
\textnormal{Rad 4: } \quad & \mathcal{L}\big( e^{at} \big) = \frac{1}{s - a} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{-3t} \big) = 3 \cdot \frac{1}{s+3} = \frac{3}{s+a}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > -3$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap07:
Regn ut Laplace transformasjonen:
3e^{3t} + 2e^{-2t}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(3e^{3t} + 2e^{-2t}) = \frac{3}{s-3} + \frac{2}{s+2}når $s > 3$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 14 og 15 og deretter rad 4.
Løsning:
Siden uttrykket har to ledd, bruker vi først rad 14 i tabellen for Laplace transformasjon. Deretter bruker vi rad 15 for å sette koeffisientene utenfor:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 14: } \quad & \mathcal{L}\big( g(t) + h(t) \big) = \mathcal{L}\big(g(t) \big) + \mathcal{L}\big(h(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} + 2e^{-2t} \big) = \mathcal{L}\big( 3e^{3t} \big) + \mathcal{L}\big( 2e^{-2t} \big) \\
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a \mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} + 2e^{-2t} \big) = 3 \mathcal{L}\big( e^{3t} \big) + 2 \mathcal{L}\big(e^{-2t}\big)
\end{aligned}Nå kan vi bruke rad 4:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 4: } \quad & \mathcal{L}\big( e^{at} \big) = \frac{1}{s - a} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} + 2e^{-2t} \big) = 3 \cdot \frac{1}{s-3} + 2 \cdot \frac{1}{s+2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 3e^{3t} + 2e^{-2t} \big) = \frac{3}{s-3} + \frac{2}{s+2}
\end{aligned}Transformasjonen av første ledd er gyldig når $s > 3$ og andre ledd når $s>-2$. Transformasjonen av begge ledd er derfor kun gyldig når $s > 3$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap08:
Regn ut Laplace transformasjonen:
7te^{5t}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(7te^{5t}) = \frac{7}{(s-5)^2}når $s > 5$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 15 og deretter rad 5.
Løsning:
Bruk først rad 15 og deretter rad 5 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 15: } \quad & \mathcal{L}\big( af(t) \big) = a\mathcal{L}\big(f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 7te^{5t} \big) = 7 \mathcal{L}\big( te^{5t} \big) \\
\textnormal{Rad 5: } \quad & \mathcal{L}\big( te^{at} \big) = \frac{1}{(s-a)^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( 7te^{5t} \big) = 7 \cdot \frac{1}{(s-5)^2} = \frac{7}{(s-5)^2}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 5$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap09:
Regn ut Laplace transformasjonen:
te^{4t}(1 + t)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}(te^{4t}(1+t)) = \frac{s-3}{(s-4)^3}når $s > 4$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Multipliser $te^t$ inn i parentesen først. Deretter kan du bruke rad 5 og 6 i tabellen.
Løsning:
Multipliser først $te^t$ inn i parentesen:
te^{4t}(1 + t) = te^{4t} + t^2e^{4t}Siden uttrykket har to ledd, må vi først bruke rad 14 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 14: } \quad & \mathcal{L}\big( g(t) + h(t) \big) = \mathcal{L}\big(g(t) \big) + \mathcal{L}\big(h(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( te^{4t}(1+t) \big) = \mathcal{L}\big( te^{4t} \big) + \mathcal{L}\big( t^2e^{4t} \big)
\end{aligned}Nå kan vi bruke rad 5 og 6 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 5: } \quad & \mathcal{L}\big( te^{at} \big) = \frac{1}{(s-a)^2} \\
\textnormal{Rad 6: } \quad & \mathcal{L}\big( t^n e^{at} \big) = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( te^{4t} (1+t) \big) = \frac{1}{(s-4)^2} + \frac{2}{(s-4)^3}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 4$.
Vi kan beholde svaret slik det er, eller omforme det ved hjelp av brøkregning:
\begin{aligned}
& \mathcal{L}\big( te^{4t} + t^2e^{4t} \big) = \frac{1 \textcolor{red}{\cdot (s-4)}}{(s-4)^2 \textcolor{red}{\cdot (s-4)}} + \frac{2}{(s-4)^3} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( te^{4t} + t^2e^{4t} \big) = \frac{s-4}{(s-4)^3} + \frac{2}{(s-4)^3} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( te^{4t} + t^2e^{4t} \big) = \frac{s-4 + 2}{(s-4)^3} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( te^{4t} + t^2e^{4t} \big) = \frac{s-2}{(s-4)^3}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave lap10:
Regn ut Laplace transformasjonen:
\sin(4t) + \cos(3t)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\big( \sin(4t) + \cos(3t) \big) = \frac{4}{s^2 + 4^2} + \frac{s}{s^2+3^2}når $s > 0$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 14 og deretter rad 7 og 8.
Løsning:
Siden uttrykket har to ledd, må vi først bruke rad 14 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 14: } \quad & \mathcal{L}\big( g(t) + h(t) \big) = \mathcal{L}\big(g(t) \big) + \mathcal{L}\big(h(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \sin(4t) + \cos(3t) \big) = \mathcal{L}\big( \sin(4t) \big) + \mathcal{L}\big( \cos(3t) \big)
\end{aligned}Nå kan vi bruke rad 7 og 8 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 7: } \quad & \mathcal{L}\big( \sin(bt) \big) = \frac{b}{s^2+b^2} \\
\textnormal{Rad 8: } \quad & \mathcal{L}\big(\cos(bt) \big) = \frac{s}{s^2+b^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \sin(4t) + \cos(3t) \big) = \frac{4}{s^2 + 4^2} + \frac{s}{s^2+3^2}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap11:
Regn ut Laplace transformasjonen:
e^{-t} \Big(t + \sin(4t) \Big)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\Big( e^{-t} \big(t + \sin(4t) \big) \Big) = \frac{1}{(s+1)^2} + \frac{4}{(s+1)^2+4^2}når $s > -1$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Multipliser $te^{-t}$ inn i parentesen først. Deretter kan du bruke rad 5 og 9 i tabellen.
Løsning:
Multipliserer $e^{-t}$ inn i parentesen:
e^{-t} \Big(t + \sin(4t) \Big) = te^{-t} + e^{-t} \sin(4t)Nå kan vi bruke rad 7 og 8 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 5: } \quad & \mathcal{L}\big( te^{at} \big) = \frac{1}{(s-a)^2} \\
\textnormal{Rad 9: } \quad & \mathcal{L}\big(e^{at} \sin(bt) \big) = \frac{b}{(s-a)^2+b^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\Big( e^{-t} \big(t + \sin(4t) \big) \Big) = \frac{1}{(s+1)^2} + \frac{4}{(s+1)^2+4^2}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > -1$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap12:
Regn ut Laplace transformasjonen:
u(t-5)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\big( u(t-5) \big) = \frac{1}{s}e^{-5s}når $s > 0$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 11.
Løsning:
Bruk rad 11 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 11: } \quad & \mathcal{L}\big( u(t-a) \big) = \frac{1}{s} e^{-as} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( u(t-5) \big) = \frac{1}{s}e^{-5s}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap13:
Regn ut Laplace transformasjonen:
\delta(t-5)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\big( \delta(t-5) \big) = e^{-5s}når $s > 0$.
Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 13.
Løsning:
Bruk rad 13 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 13: } \quad & \mathcal{L}\big( \delta(t-a) \big) = e^{-as} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \delta(t-5) \big) = e^{-5s}
\end{aligned}Transformasjonen er gyldig når $s > 0$.
Video: Under produksjon
Oppgave lap14:
Regn ut Laplace transformasjonen:
e^{2t} u(t-3)Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\big( e^{2t}u(t-3)\big) = \frac{e^{6-3s}}{s-2}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen. Husk at her er $u(t-3)$ en heaviside funksjon.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 16.
Løsning: Bruk rad 16 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 16: } \quad & \mathcal{L}\big( \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{a}) \big) = e^{-\textcolor{red}{a}s} \mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{a}) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \textcolor{blue}{e^{2t}} u(t-\textcolor{red}{3}) \big) = e^{-\textcolor{red}{3}s} \mathcal{L} \big( e^{2(t+\textcolor{red}{3})} \big)
\end{aligned}der $h(t) = e^{2t}$ som gir $h(t+3) = e^{2(t+3)}$.
For å gjøre den siste Laplace transformasjonen, må vi først bruke en potensregel ($a^{m+n} = a^m b^n$) og deretter sette en konstant faktor utenfor (dvs. bruke Rad 15 i tabellen):
\mathcal{L} \big( e^{2(t+3)} \big)
= \mathcal{L} \big( e^{2t + 6} \big)
= \mathcal{L} \big( e^{2t} e^6 \big)
= e^6 \mathcal{L} \big( e^{2t} \big)Nå kan vi bruke Rad 4 i tabellen:
\mathcal{L} \big( e^{2(t+3)} \big)
= e^6 \mathcal{L} \big( e^{2t} \big)
= e^6 \cdot \frac{1}{s-2}Nå trenger vi bare å sette inn i uttrykket vårt:
\mathcal{L}\big( e^{2t} u(t-3) \big)
= e^{-3s} \mathcal{L} \big( e^{2(t+3)} \big)
= e^{-3s} \cdot e^6 \cdot \frac{1}{s-2}
= \frac{e^{6-3s}}{s-2}
Video: Under produksjon
Oppgave lap15:
Regn ut Laplace transformasjonen:
\sin(t-3) u(t-3)
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
\mathcal{L}\big( \sin(t-3) u(t-3)\big) = \frac{e^{-3s}}{s^2 + 1}Hint 1: Den enkleste måten å finne Laplace transformasjon, er å bruke tabellen. Husk at her er $u(t-3)$ en heaviside funksjon.
Hint 2: Finn en rad i tabellen som ligner på det du skal regne ut. Her kan du bruke rad 16.
Løsning: Bruk rad 16 i tabellen for Laplace transformasjon:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 16: } \quad & \mathcal{L}\big( \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{a}) \big) = e^{-\textcolor{red}{a}s} \mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{a}) \big) \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \textcolor{blue}{\sin(t-3)} u(t-\textcolor{red}{3}) \big) = e^{-\textcolor{red}{3}s} \mathcal{L} \big( \sin(t+\textcolor{red}{3} - 3) \big)
\end{aligned}der $h(t) = \sin(t-3)$ som gir $h(t+3) = \sin((t+3) – 3) = \sin(t)$.
For å gjøre den siste Laplace transformasjonen, må vi bruke Rad 7 i tabellen:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 7: } \quad & \mathcal{L}\big( \sin(bt) \big) = \frac{b}{s^2+b^2} \\
\Rightarrow \quad & \mathcal{L}\big( \sin(t) \big) = \frac{1}{s^2 + 1}
\end{aligned}Nå trenger vi bare å sette inn i uttrykket vårt:
\mathcal{L}\big( \sin(t-3) u(t-3) \big)
= e^{-3s} \cdot \frac{1}{s^2 + 1}
= \frac{e^{-3s}}{s^2+1}
Video: Under produksjon
Oppgave dif01:
Løs differensialligningen:
y’ + 4y = 0
når $y(0) = 2$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = 2 e^{-4t}Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’ + 4y \big) & = \mathcal{L}(0) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big( y’ \big) + 4 \mathcal{L}\big(y \big) & = \mathcal{L}(0)
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY(s) - y(0) + 4 Y(s) = \mathcal{L}(0) Nå kan vi bruke at $y(0) = 2$ og $\mathcal{L}(0) = 0$:
\begin{aligned}
& sY(s) - 2 + 4 Y(s) = 0 \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = 2 \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{2}{s+4}
\end{aligned}Til sist kan vi bruke invers Laplace transformasjon ved å bruke rad 4 i tabellen:
\begin{aligned}
y(t) &= \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{2}{s+4} \right) \\
\Rightarrow \quad y(t) & = 2 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s+4} \right) \\
\Rightarrow \quad y(t) & = 2 e^{-4t}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave dif02:
Løs differensialligningen:
y’ + 4y = 2e^{3t}når $y(0) = 1$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = \frac{2}{7} e^{3t} + \frac{5}{7} e^{-4t}Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte og bruk tabellen på høyre side.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’ + 4y \big) & = \mathcal{L}\big( 2e^{3t} \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big( y’ \big) + 4 \mathcal{L}\big(y \big) & = 2\mathcal{L}\big( e^{3t} \big)
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY(s) - y(0) + 4 Y(s) = 2 \mathcal{L}\big( e^{3t}\big) Nå kan vi bruke at $y(0) = 1$ og rad 4 i tabellen for å finne Laplace transformasjonen av $\mathcal{L}\big( e^{3t} \big)$:
\begin{aligned}
& sY(s) - 1 + 4 Y(s) = 2 \cdot \frac{1}{s-3} \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{2}{s-3} + 1 \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{2}{s-3} + \frac{s-3}{s-3} \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{2 + s-3}{s-3} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{s - 1}{(s-3)(s+4)}
\end{aligned}Nå må vi bruke delbrøksoppspaltning for å få et uttrykk vi kan bruke:
\frac{s - 1}{(s-3)(s+4)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+4}Multipliserer med $(s-3)(s+4)$:
s - 1 = A(s+4) + B(s-3)
Siden ligningen skal stemme for alle $s$, må den også stemme når $s = -4$ og $s=3$:
\begin{aligned}
\textnormal{Hvis } s = -4: \quad & (-4) - 1 = B \cdot (-4 - 3) && \quad B = \frac{5}{7} \\
\textnormal{Hvis } s = 3: \quad & 3 - 1 = A \cdot (3 +4) && \quad A = \frac{2}{7}
\end{aligned}Da er vi ferdige med delbrøksoppspaltnignen:
Y(s) = \frac{s - 1}{(s - 3)(s+4)} = \frac{\frac{2}{7}}{s - 3} + \frac{\frac{5}{7}}{s+4}Til sist kan vi finne den invers transformerte ved hjelp av rad 4 i tabellen:
\begin{aligned}
Y(s) & = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{s - 3} + \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{s+4} \\
\Rightarrow \quad y(t) & =
\frac{2}{7} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s - 3} \right)
+ \frac{5}{7} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s + 4} \right) \\
\Rightarrow \quad y(t) &= \frac{2}{7} e^{3t} + \frac{5}{7} e^{-4t}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave dif03:
Løs differensialligningen:
y’ + 4y = 10 \sin(2t)
når $y(0) = 2$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = - \cos(2t) + 2\sin(2t) + 3e^{-4t}Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte og bruk tabellen på høyre side.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’ + 4y \big) & = \mathcal{L}\big( 10 \sin(2t) \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big( y’ \big) + 4 \mathcal{L}\big(y \big) & = 10\mathcal{L}\big( \sin(2t) \big)
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY(s) - y(0) + 4 Y(s) = 10 \mathcal{L}\big( \sin(2t) \big) Nå kan vi bruke at $y(0) = 2$ og tabellen for å finne Laplace transformasjonen av $\mathcal{L}\big( \sin(2t) \big)$:
\begin{aligned}
& sY(s) - 2 + 4 Y(s) = 10 \cdot \frac{2}{s^2 + 2^2} \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{20}{s^2 + 2^2} + 2 \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{20}{s^2 + 4} + \frac{2 (s^2 + 4)}{s^2 + 4} \\
\Rightarrow \quad & (s + 4) Y(s) = \frac{2s^2 + 28}{s^2 + 4} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{2s^2 + 28}{(s^2 + 4)(s+4)}
\end{aligned}Nå må vi bruke delbrøksoppspaltning for å få et uttrykk vi kan bruke.
+ Mellomregninger
\frac{2s^2 + 28}{(s^2 + 4)(s+4)} = \frac{As + B}{s^2 + 4} + \frac{C}{s+4}Multipliserer med $(s^2 + 4)(s+4)$:
2s^2 + 28 = (As + B)(s+4) + C(s^2 + 4)
For å bestemme $A$, $B$ og $C$ må vi sortere leddene:
\begin{aligned}
& 2s^2 + 28 = As^2 + 4As + Bs + 4B + Cs^2 + 4C \\
\Rightarrow \quad & 2s^2 + 28 = (A + C) s^2 + (4A + B)s + (4B + 4C) \\
\Rightarrow \quad & \left\{ \begin{array}{rrcl}
s^2: \quad & 2 & = & A + C \\
s: \quad & 0 & = & 4A + B \\
1: \quad & 28 & = & 4B + 4C
\end{array} \right. \end{aligned}Dette ligningssettet kan vi løse på mange måter, f.eks. med matriser. Vi kan også bruke substitusjon. Da kan vi f.eks. Bruke de to første ligningene til å uttrykk $B$ og $C$ ved $A$ og sette uttrykkene inn i den tredje ligningen:
\begin{array}{rcl}
C &=& 2 - A \\
B &=& - 4A \\
\Rightarrow \quad 28 &=& 4 \cdot (-4A) + 4 \cdot (2 - A) \\
\Rightarrow \quad 28 &=& - 16A + 8 - 4C \\
\Rightarrow \quad 20 &=& -20A \\
\Rightarrow \quad \; A &=& -1
\end{array} Nå kan vi sette $A=-1$ for å finne $B$ og $C$:
\begin{array}{rcl}
C &=& 2 - A = 2 - (-1) = 3 \\
B &=& - 4A = -4 \cdot (-1) = 4
\end{array} Endelig er vi ferdige med delbrøksoppspaltnignen.
Y(s) = \frac{-s + 4}{s^2 + 4} + \frac{3}{s+4} \\
\Rightarrow \quad Y(s) = - \frac{s}{s^2 + 2^2} + 2 \cdot \frac{2}{s^2 + 2^2} + 3 \cdot \frac{1}{s+4}Til sist kan vi finne den invers transformerte ved hjelp av rad 4, 7 og 8 i tabellen når vi omskriver $Y(s)$ litt:
\begin{aligned}
Y(s) & = - \frac{s}{s^2 + 2^2} + 2 \cdot \frac{2}{s^2 + 2^2} + 3 \cdot \frac{1}{s+4} \\
\Rightarrow \quad y(t) & = - \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s}{s^2 + 2^2} \right)
+ 2 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{2}{s^2 + 2^2} \right)
+ 3 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s + 4} \right) \\
\Rightarrow \quad y(t) &= - \cos(2t) + 2\sin(2t) + 3e^{-4t}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave dif04:
Løs differensialligningen:
y’’ + 2y’ - 3y = 0
når $y(0) = 4$ og $y’(0) = 0$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = e^{-3t} + 3e^{t}Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’’ + 2y’ - 3y \big) & = \mathcal{L}(0) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big(y’’\big) + 2\mathcal{L}\big( y’ \big) - 3 \mathcal{L}\big(y \big) & = 0
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
\Big(s^2Y(s) - sy(0) - y’(0) \Big) + 2 \Big(sY(s) - y(0) \Big) - 3 Y(s) = 0
Nå kan vi bruke at $y(0) = 4$ og $y’(0) = 0$:
\begin{aligned}
& \Big(s^2 Y(s) - 4s\Big) + 2 \Big(sY(s) - 4\Big) - 3 Y(s) = 0 \\
\Rightarrow \quad &s^2 Y(s) - 4s + 2sY(s) - 8 - 3 Y(s) = 0 \\
\Rightarrow \quad & (s^2 + 2s - 3) Y(s) = 4s + 8 \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{4s + 8}{s^2 + 2s - 3}
\end{aligned}Nå må vi bruke delbrøksoppspaltning.
+ Mellomregninger
Først trenger vi å faktorisere nevneren:
\begin{aligned}
& s^2 + 2s - 3 = 0 \\
\Rightarrow \quad & s = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \quad & s = \frac{-2 \pm 4}{2} \\
\Rightarrow \quad & s = -3 \textnormal{ eller } s = 1 \\
\Rightarrow \quad & s^2 + 2s - 3 = (s+3)(s-1)
\end{aligned}Nå som nevneren er faktorisert, kan vi bruke delbrøkoppspaltning:
\frac{4s+8}{s^2 + 2s - 3} = \frac{A}{s + 3} + \frac{B}{s-1}Multipliserer med $s^2 + 2s – 3 = (s + 3)(s – 1)$:
4s+8 = A(s-1) + B(s+3)
Siden ligningen skal stemme for alle $s$, må den også stemme når $s = -3$ og $s=1$:
\begin{aligned}
\textnormal{Hvis } s = -3: \quad & 4 \cdot (-3) + 8 = A \cdot (-3 - 1) && \quad A = 1 \\
\textnormal{Hvis } s = 1: \quad & 4 \cdot 1 + 8 = B \cdot (1 + 3) && \quad B = 3
\end{aligned}Nå har vi alt vi trenger til delbrøksoppspaltnignen.
Y(s) = \frac{4s + 8}{s^2 + 2s - 3} = \frac{1}{s + 3} + \frac{3}{s-1}Til sist kan vi finne den invers transformerte ved hjelp av rad 4 i tabellen:
\begin{aligned}
Y(s) & = \frac{1}{s + 3} + 3 \cdot \frac{1}{s - 1} \\
\Rightarrow \quad y(t) & =
\mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s + 3} \right)
+ 3 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s - 1} \right) \\
\Rightarrow \quad y(t) &= e^{-3t} + 3e^{t}
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave dif05:
Løs settet av differensialligninger:
y_1’ = 3 y_1 - 2y_2 \\ y_2’ = 5 y_1 - 3y_2
når $y_1(0) = 7$ og $y_2(0) = 10$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y_1(t) = 7\cos(t) + \sin(t) \\ y_2(t) = 10 \cos(t) + 5 \sin(t)
Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon av begge ligningene. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y_1(s) = \mathcal{L}(y_1)$ og $Y_2(s) = \mathcal{L}(y_2)$. Deretter kan du bruke invers Laplace for å finne $y_1(t)$ og $y_2(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon av begge ligningene:
\mathcal{L}(y_1’) = \mathcal{L}(3 y_1 - 2y_2) \\
\mathcal{L}(y_2’) = \mathcal{L}(5 y_1 - 3y_2)Nå kan vi dele opp høyre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\mathcal{L}(y_1’) = 3 \mathcal{L}(y_1) - 2 \mathcal{L}(y_2) \\
\mathcal{L}(y_2’) = 5 \mathcal{L}(y_1) - 3 \mathcal{L}(y_2)Nå setter vi $\mathcal{L}(y_1) = Y_1(s)$ og $\mathcal{L}(y_2) = Y_2(s)$, og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY_1 - y_1(0) = 3 Y_1 - 2 Y_2 \\ sY_2 - y_2(0) = 5 Y_1 - 3 Y_2
Nå kan vi bruke initialbetingelsene $y_1(0) = 7$ og $y_2(0) = 10$:
sY_1 - 7 = 3 Y_1 - 2 Y_2 \\ sY_2- 10 = 5 Y_1 - 3 Y_2
Nå har vi to ligninger med to funksjoner. Vi kan bruke den ene ligningen til å finne et uttrykk vi kan sette inn i den andre.
Hvis vi velger å bruke den første, kan vi finne et uttrykk for $Y_2$:
\begin{array}{lrclr}
& sY_1 - 7 &=& 3 Y_1 - 2 Y_2 & \quad | - 3Y_1 \\
\Rightarrow \quad & -3Y_1 + sY_1 - 7 &=& -2 Y_2 & \quad | \cdot \left(- \frac{1}{2} \right) \\
\Rightarrow \quad & \frac{3}{2}Y_1 - \frac{s}{2}Y_1 + \frac{7}{2} &=& Y_2 \\
\Rightarrow \quad & \frac{1}{2} \Big( (3-s) Y_1 + 7\Big) \!\!&=& Y_2
\end{array}Nå kan vi sette inn i den andre ligningen for å finne et uttrykk for $Y_1$.
+ Mellomregninger
\begin{array}{rrcll}
& sY_2 - 10 &=& 5Y_1 - 3Y_2 & | + 3Y_2 \\
\Rightarrow \quad & (3 + s)\textcolor{red}{Y_2} - 10 &=& 5Y_1 \\
\Rightarrow \quad & (3 + s) \textcolor{red}{\frac{1}{2} \Big( (3-s) Y_1 + 7\Big)} - 10 &=& 5Y_1 &| \cdot 2 \\
\Rightarrow \quad & (3 + s) \Big( (3-s) Y_1 + 7\Big) - 20 &=& 10Y_1 \\
\Rightarrow \quad & (9 - s^2) Y_1 + 7(3+s) - 20 &=& 10Y_1 &| - 9 Y_1 + s^2 Y_1\\
\Rightarrow \quad & 1 + 7s &=&Y_1 + s^2Y_1 \\
\Rightarrow \quad & 1 + 7s &=& (1 + s^2)Y_1 & | \cdot \frac{1}{1+s^2} \\
\Rightarrow \quad & \frac{1}{1+s^2} + \frac{7s}{1+s^2} &=&Y_1
\end{array}Y_1(s) = \frac{1}{1 + s^2} + \frac{7s}{1 + s^2} Nå kan vi finne den invers transformerte til $Y_1$ ved hjelp av rad 7 og 8 i tabellen:
\begin{aligned}
y_1(t) & =
\mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{1 + s^2} \right)
+ 7 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s}{1 + s^2} \right) \\
\Rightarrow \quad y_1(t) &= \sin(t) + 7 \cos(t)
\end{aligned}For å finne $y_2(t)$, har vi flere muligheter. Du kan finne et uttrykk for $Y_2(s)$ og bruke invers Laplace transformasjon. Men det enkleste er nok å bruke den første ligningen vi fikk oppgitt:
\begin{array}{lrclr}
& y_1’ &=& 3 y_1 - 2y_2 \qquad | + 2y_2 - y_1’\\
\Rightarrow & 2y_2 &=& 3\textcolor{red}{y_1} - \textcolor{blue}{y_1’} \\
\Rightarrow & 2y_2 &=& 3 \Big(\textcolor{red}{\sin(t) + 7\cos(t)}\Big) - \Big(\textcolor{blue}{\cos(t) - 7\sin(t)} \Big) \\
\Rightarrow & 2y_2 &=& 3 \sin(t) + 21 \cos(t) - \cos(t) + 7 \sin(t) \\
\Rightarrow & 2y_2 &=& 10 \sin(t) + 20 \cos(t) \\
\Rightarrow & y_2 &=& 5 \sin(t) + 10\cos(t)
\end{array}Nå har vi løst ligningssettet:
\begin{aligned}
&y_1 = \sin(t) + 7\cos(t) \\
&y_2 = 5 \sin(t) + 10 \cos(t)
\end{aligned}+ Sjekk svaret
Det kan være lurt å sjekke svaret:
\begin{array}{lrl}
\textnormal{Oppgitt: } & \textcolor{red}{y_1’} &= \textcolor{blue}{3 y_1 - 2y_2} \\
\textnormal{Venstre: } & y_1’ &= \textcolor{red}{\cos(t) - 7 \sin(t)} \\
\textnormal{Høyre: } & 3 y_1 - 2y_2 &= 3(\sin(t) + 7 \cos(t)) - 2(5\sin(t) + 10\cos(t)) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 3 y_1 - 2y_2 &= 3\sin(t) + 21 \cos(t) - 10 \sin(t) - 20\cos(t) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 3 y_1 - 2y_2 &= \textcolor{blue}{\cos(t) - 7\sin(t)} \\
&& \textnormal{ok} \\ \\
\textnormal{Oppgitt: }& \textcolor{red}{y_2’} &= \textcolor{blue}{5 y_1 - 3y_2} \\
\textnormal{Venstre: } & y_2’ &= \textcolor{red}{5\cos(t) - 10 \sin(t)} \\
\textnormal{Høyre: } & 5 y_1 - 3 y_2 &= 5(\sin(t) + 7 \cos(t)) - 3(5\sin(t) + 10 \cos(t)) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 5 y_1 - 3 y_2 &= 5\sin(t) + 35 \cos(t) - 15 \sin(t) - 30 \cos(t) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 5 y_1 - 3 y_2 &= \textcolor{blue}{5 \cos(t) - 10 \sin(t)} \\
&& \textnormal{ok}
\end{array}Initialbetingelsene er lette å sjekke:
\begin{array}{ll}
y_1(0) = \sin(0) + 7\cos(0) = 7 & \qquad \textnormal{ok} \\
y_2(0) = 5\sin(0) + 10\cos(0) = 10 & \qquad \textnormal{ok}
\end{array}Video: Under produksjon
Oppgave dif06:
Løs settet av differensialligninger:
y_1’ = 5 y_1 + 2y_2 \\ y_2’ = -13 y_1 - 5y_2
når $y_1(0) = -4$ og $y_2(0) = 13$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y_1(t) = -4 \cos(t) + 6 \sin(t) \\ y_2(t) = 13 \cos(t) - 13 \sin(t)
Hint 1: Begynn med å ta Laplace transformasjon av begge ligningene. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y_1(s) = \mathcal{L}(y_1)$ og $Y_2(s) = \mathcal{L}(y_2)$. Deretter kan du bruke invers Laplace for å finne $y_1(t)$ og $y_2(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon av begge ligningene:
\mathcal{L}(y_1’) = \mathcal{L}(5 y_1 + 2y_2) \\
\mathcal{L}(y_2’) = \mathcal{L}(-13 y_1 - 5y_2)Nå kan vi dele opp høyre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\mathcal{L}(y_1’) = 5 \mathcal{L}(y_1) + 2 \mathcal{L}(y_2) \\
\mathcal{L}(y_2’) = -13 \mathcal{L}(y_1) - 5 \mathcal{L}(y_2)Nå setter vi $\mathcal{L}(y_1) = Y_1(s)$ og $\mathcal{L}(y_2) = Y_2(s)$, og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY_1 - y_1(0) = 5 Y_1 + 2 Y_2 \\ sY_2 - y_2(0) = -13 Y_1 - 5 Y_2
Nå kan vi bruke initialbetingelsene $y_1(0) = -4$ og $y_2(0) = -13$:
sY_1 + 4 = 5 Y_1 + 2 Y_2 \\ sY_2 - 13 = -13 Y_1 - 5 Y_2
Nå har vi to ligninger med to funksjoner. Vi kan bruke den ene ligningen til å finne et uttrykk vi kan sette inn i den andre.
Hvis vi velger å bruke den første, kan vi finne et uttrykk for $Y_2$:
\begin{array}{lrcll}
& sY_1 + 4 &=& 5 Y_1 + 2 Y_2 & \quad | - 5Y_1 \\
\Rightarrow \quad & -5Y_1 + sY_1 + 4 &=& 2 Y_2 & \quad | \cdot \frac{1}{2} \\
\Rightarrow \quad & -\frac{5}{2}Y_1 + \frac{s}{2}Y_1 + 2 &=& Y_2 \\
\Rightarrow \quad & \frac{1}{2} (-5+s) Y_1 + 2 &=& Y_2
\end{array}Nå kan vi sette inn i den andre ligningen for å finne et uttrykk for $Y_1$.
+ Mellomregninger
\begin{array}{rrcll}
& sY_2 - 13 &=& -13Y_1 - 5Y_2 \;\; & | + 5Y_2 \\
\Rightarrow & (5 + s) \textcolor{red}{Y_2} - 13 &=& -13Y_1 \\
\Rightarrow & (5 + s) \textcolor{red}{\Big( \frac{1}{2} (-5+s) Y_1 + 2 \Big)} - 13 &=& -13 Y_1 \\
\Rightarrow & \Big( \frac{1}{2}(-25 + s^2) Y_1 + 10 + 2s \Big) - 13 &=& -13 Y_1 \\
\Rightarrow & \frac{1}{2}(-25 + s^2) Y_1 - 3+ 2s &=& -13 Y_1 &| \cdot 2 \\
\Rightarrow & (-25 + s^2) Y_1 - 6+ 4s &=& -26 Y_1 &| + 26 Y_1 + 6 - 4s \\
\Rightarrow & (1 + s^2) Y_1 & = & 6 - 4s &| \cdot \frac{1}{1+s^2} \\
\Rightarrow& Y_1 &=& \frac{6}{1+s^2} - \frac{4s}{1+s^2}
\end{array}Y_1(s) = \frac{6}{1 + s^2} - \frac{4s}{1 + s^2} Nå kan vi finne den invers transformerte til $Y_1$ ved hjelp av rad 7 og 8 i tabellen:
\begin{aligned}
y_1(t) & =
6 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{1 + s^2} \right)
- 4 \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s}{1 + s^2} \right) \\
\Rightarrow \quad y_1(t) &= 6 \sin(t) - 4 \cos(t)
\end{aligned}For å finne $y_2(t)$, har vi flere muligheter. Du kan finne et uttrykk for $Y_2(s)$ og bruke invers Laplace transformasjon. Men det enkleste er nok å bruke den første ligningen vi fikk oppgitt:
\begin{array}{lrclr}
& y_1’ &=& 5 y_1 + 2y_2 \qquad | - 2y_2 - y_1’\\
\Rightarrow & -2y_2 &=& 5\textcolor{red}{y_1} - \textcolor{blue}{y_1’} \\
\Rightarrow & -2y_2 &=& 5 \Big(\textcolor{red}{6\sin(t) - 4\cos(t)}\Big) - \Big(\textcolor{blue}{6\cos(t) + 4\sin(t)} \Big) \\
\Rightarrow & -2y_2 &=& 30 \sin(t) - 20 \cos(t) - 6 \cos(t) - 4 \sin(t) \\
\Rightarrow & -2y_2 &=& 26 \sin(t) - 26 \cos(t) \\
\Rightarrow & y_2 &=& -13 \sin(t) + 13\cos(t)
\end{array}Nå har vi løst ligningssettet:
\begin{aligned}
&y_1 = 6 \sin(t) - 4 \cos(t) \\
&y_2 = -13 \sin(t) + 13 \cos(t)
\end{aligned}+ Sjekk svaret
Det kan være lurt å sjekke svaret:
\begin{array}{lrl}
\textnormal{Oppgitt: } & \textcolor{red}{y_1’} &= \textcolor{blue}{5 y_1 + 2y_2} \\
\textnormal{Venstre: } & y_1’ &= \textcolor{red}{6 \cos(t) + 4 \sin(t)} \\
\textnormal{Høyre: } & 5 y_1 + 2y_2 &= 5(6\sin(t) - 4 \cos(t)) + 2(-13\sin(t) + 13\cos(t)) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 5 y_1 + 2y_2 &= 30\sin(t) - 20 \cos(t) - 26 \sin(t) + 26\cos(t) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 3 y_1 - 2y_2 &= \textcolor{blue}{6\cos(t) + 4\sin(t)} \\
&& \textnormal{ok} \\ \\
\textnormal{Oppgitt: }& \textcolor{red}{y_2’} &= \textcolor{blue}{-13 y_1 - 5y_2} \\
\textnormal{Venstre: } & y_2’ &= \textcolor{red}{-13\cos(t) - 13 \sin(t)} \\
\textnormal{Høyre: } & 5 y_1 - 3 y_2 &= -13(6\sin(t) - 4 \cos(t)) - 5(-13\sin(t) + 13 \cos(t)) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 5 y_1 - 3 y_2 &= -78\sin(t) + 52 \cos(t) + 65 \sin(t) - 65 \cos(t) \\
\qquad \quad \Rightarrow & 5 y_1 - 3 y_2 &= \textcolor{blue}{-13 \cos(t) - 13 \sin(t)} \\
&& \textnormal{ok}
\end{array}Initialbetingelsene er lette å sjekke:
\begin{array}{ll}
y_1(0) = 6 \sin(0) - 4 \cos(0) = -4 & \qquad \textnormal{ok} \\
y_2(0) = -13 \sin(0) + 13 \cos(0) = 13 & \qquad \textnormal{ok}
\end{array}Video: Under produksjon
Oppgave dif07:
Løs differensialligningen:
y’ + 3y = 2 \delta (t-1)
når $y(0) = 0$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = 2e^{3-3t} u(t-1)Hint 1: $\delta(t-4)$ er diracs impulsfunksjon. Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte og bruk tabellen på høyre side.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’ + 3y \big) & = \mathcal{L}\big( 2 \delta(t-1) \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big( y’ \big) + 3 \mathcal{L}\big(y \big) & = 2 \mathcal{L}\big( \delta(t-1) \big)
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY(s) - y(0) + 3 Y(s) = 2 \mathcal{L}\big( \delta(t-1) \big) Nå kan vi bruke at $y(0) = 0$ og tabellen for å finne Laplace transformasjonen av $\mathcal{L}\big( \delta(t-1) \big)$:
\begin{aligned}
& sY(s) + 3 Y(s) = 2 \cdot e^{-s} \\
\Rightarrow \quad & (s + 3) Y(s) = 2e^{-s} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{2e^{-s}}{s + 3}
\end{aligned}Nå må vi finne den invers Laplace transformerte:
\begin{aligned}
\mathcal{L}^{-1}\Big(Y(s)\Big) & = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{2e^{-s}}{s + 3} \right) \\
\Rightarrow \qquad y(t) & = 2 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{e^{-s}}{s+3} \right)
\end{aligned}Her må vi bruke rad 16 i tabellen:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 16: } \quad & \mathcal{L}^{-1} \Big( e^{-\textcolor{red}{a}s} \mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{a}) \big) \Big) = \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{a}) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \left( e^{-s} \cdot \frac{1}{s+3} \right) = \;\; & \mathcal{L}^{-1} \Big( e^{-\textcolor{red}{1}s} \underbrace{\mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{1}) \big)}_{= \frac{1}{s+3}} \Big) = \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{1}) \\
\end{aligned}For å løse dette må vi finne en funksjon $h(t)$ slik at den Laplace transformerte av $h(t+1)$ blir $\frac{1}{s+3}$, dvs:
\begin{aligned}
&\mathcal{L} \big( h(t+1) \big) = \frac{1}{s+3} \\
\Rightarrow \quad & h(t+1) = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s+3} \right) \\
\Rightarrow \quad & h(t+1) = e^{-3t} \\
\Rightarrow \quad & h(t) = e^{-3(t-1)} \\
\Rightarrow \quad & h(t) = e^{3 - 3t}
\end{aligned}Nå trenger vi bare å sette inn:
\begin{aligned}
y(t) & = 2 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{e^{-s}}{s+3} \right)
= 2 h(t) u(t-1) = 2 e^{3-3t}u(t-1)
\end{aligned}Video: Under produksjon
Oppgave dif08:
Løs differensialligningen:
y’ - 5y = 7 \delta (t-4)
når $y(0) = 2$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(t) = 7e^{5(t-4)} u(t-4) + 2 e^{5t}Hint 1: $\delta(t-4)$ er diracs impulsfunksjon. Begynn med å ta Laplace transformasjon på begge sider. Husk å bruke formlene for Laplace av deriverte på venstre side og bruk tabellen på høyre side.
Hint 2: Finn et uttrykk for $Y(s) = \mathcal{L}(y)$ og bruk invers Laplace for å finne $y(t)$. Husk at du kan bruke tabellen.
Løsning:
Først tar vi Laplace transformasjon på begge sider, og deler opp venstre side ved hjelp av rad 14 og 15 i tabellen:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big( y’ - 5y \big) & = \mathcal{L}\big( 7 \delta(t-4) \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}\big( y’ \big) - 5 \mathcal{L}\big(y \big) & = 7 \mathcal{L}\big( \delta(t-4) \big)
\end{aligned}Nå setter vi $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruker formlene for Laplace av deriverte:
sY(s) - y(0) - 5 Y(s) = 7 \mathcal{L}\big( \delta(t-4) \big) Nå kan vi bruke at $y(0) = 2$ og rad 13 i tabellen for å finne Laplace transformasjonen av $\mathcal{L}\big( \delta(t-4) \big)$:
\begin{aligned}
& sY(s) - 2 - 5 Y(s) = 7 \cdot e^{-4s} \\
\Rightarrow \quad & (s - 5) Y(s) = 7e^{-4s} + 2 \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{7e^{-4s}}{s - 5} + \frac{2}{s-5}
\end{aligned}Nå må vi finne den invers Laplace transformerte:
\begin{aligned}
\mathcal{L}^{-1}\Big(Y(s)\Big) & = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{7e^{-4s}}{s - 5} \right) + \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{2}{s-5} \right) \\
\Rightarrow \qquad y(t) & = 7 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{e^{-4s}}{s-5} \right) + 2 e^{5t}
\end{aligned}På andre ledd på høyre side kunne vi bruke rad 4 i tabellen. På første ledd på høyre side må vi bruke rad 16:
\begin{aligned}
\textnormal{Rad 16: } \quad & \mathcal{L}^{-1} \Big( e^{-\textcolor{red}{a}s} \mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{a}) \big) \Big) = \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{a}) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \left( e^{-4s} \cdot \frac{1}{s-5} \right) = \;\; & \mathcal{L}^{-1} \Big( e^{-\textcolor{red}{4}s} \underbrace{\mathcal{L} \big( h(t+\textcolor{red}{4}) \big)}_{= \frac{1}{s+3}} \Big) = \textcolor{blue}{h(t)} u(t-\textcolor{red}{4}) \\
\end{aligned}For å løse dette må vi finne en funksjon $h(t)$ slik at den Laplace transformerte av $h(t+4)$ blir $\frac{1}{s-5}$, dvs:
\begin{aligned}
&\mathcal{L} \big( h(t+4) \big) = \frac{1}{s-5} \\
\Rightarrow \quad & h(t+4) = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-5} \right) \\
\Rightarrow \quad & h(t+4) = e^{5t} \\
\Rightarrow \quad & h(t) = e^{5(t-4)}
\end{aligned}Nå trenger vi bare å sette inn:
\begin{aligned}
y(t) & = 7 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{e^{-4s}}{s-5} \right) + 2e^{5t} \\
\Rightarrow \quad y(t) & = 7 h(t) u(t-4) + 2e^{5t} \\
\Rightarrow \quad y(t) & = 7 e^{5(t-4)}u(t-4) + 2e^{5t}
\end{aligned}Video: Under produksjon