Oppgaver: Integrasjon – Kunnskapsgnist

Velg type oppgaver:

Alle oppgaver

Formelsamling

Delvis integrasjon

Substitusjon

Antall oppgaver:

Tips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.

Oppgave fs01:

\int x^2 dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x^2 dx =\frac{1}{3} x^3 + C

Hint 1: Kikk i formelsamlingen for å se om det er noe der du kan bruke.

Hint 2: Bruk formelen:

\int x^{\textcolor{red}{n}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C

Løsning:

\textnormal{Formel:} \int x^{\textcolor{red}{n}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C

Setter $n = 2$:

\int x^{\textcolor{red}{2}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{2} + 1} x^{\textcolor{red}{2} + 1} + C = \frac{1}{3}x^3 + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet:

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 + C \right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 0 = x^2

Video: Under produksjon

Oppgave fs02:

\int \frac{1}{x^2} dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \frac{1}{x^2} dx = - \frac{1}{x} + C

Hint 1: Kikk i formelsamlingen for å se om det er noe der du kan bruke. Du kan også ta en titt på potensreglene.

Hint 2: Bruk formlene:

a^{-1} = \frac{1}{a^n} \\ \int x^{\textcolor{red}{n}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C

Løsning: Først må vi bruke en potensregel

\textnormal{Formel:} \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \\ \Rightarrow \qquad x^{-2} = \frac{1}{x^2}

Deretter kan vi bruke integrasjonsformelen:

\textnormal{Formel:} \int x^{\textcolor{red}{n}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C

Setter $n = -2$:

\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2} \; dx & = \int x^{\textcolor{red}{-2}} \; dx \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x^2} \; dx & = \frac{1}{\textcolor{red}{-2} + 1} x^{\textcolor{red}{-2} + 1} + C \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x^2} \; dx & = \frac{1}{-1}x^{-1} + C \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x^2} \; dx & = - \frac{1}{x} + C \end{aligned}

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet:

\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{x} + C \right) = \frac{d}{dx} (-x^{-1} + C) = - (-1)x^{-1 - 1} + 0 = - \frac{1}{x^2}

Video: Under produksjon

Oppgave fs03:

\int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx = \frac{1}{3} x^3- \frac{1}{x} + C

Hint 1: Når vi integrerer to eller flere ledd, integreres hvert ledd for seg. Her har vi to ledd med pluss mellom.

Hint 2: Bruk svarene fra de to forrige oppgavene:

\int x^2 \; dx = \frac{1}{3} x^3 + C \\ \int \frac{1}{x^2} \; dx = -\frac{1}{x} + C

Løsning: Når vi integrerer to eller flere ledd, integreres hvert ledd for seg.

\textnormal{Formel:} \quad \int \Big( u(x) + v(x) \Big) dx = \int u(x) \; dx + \int v(x) \; dx

Dermed kan vi bruke svarene fra de to forrige oppgavene:

\begin{aligned} \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx &= \int x^2 \; dx + \int \frac{1}{x^2} \; dx \\ \Rightarrow \quad \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx &= \frac{1}{3} x^3- \frac{1}{x} + C \end{aligned}

Egentlig får vi to integrasjonskonstanter siden vi får en fra hvert integral, men vi slår dem sammen til en konstant.

Video: Under produksjon

Oppgave fs04:

\int 6x^2 dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int 6 x^2 dx = 2x^3 + C

Hint 1: 6-tallet kan settes utenfor integrasjonstegnet siden den ikke avhenger av $x$ og er en koeffisent.

Hint 2: Bruk formlene:

\int \textcolor{blue}{k} u(x) dx = \textcolor{blue}{k} \int u(x) dx \\ \int x^{\textcolor{red}{n}} \; dx = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C

Løsning: Koeffisienter kan settes utenfor

\textnormal{Formel:} \quad \int \Big( u(x) + v(x) \Big) dx = \int u(x) \; dx + \int v(x) \; dx

Dermed kan vi bruke svarene fra de to forrige oppgavene:

\begin{aligned} \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx &= \int x^2 \; dx + \int \frac{1}{x^2} \; dx \\ \Rightarrow \quad \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx &= \frac{1}{3} x^3- \frac{1}{x} + C \end{aligned}

Egentlig får vi to integrasjonskonstanter siden vi får en fra hvert integral, men vi slår dem sammen til en konstant.

Video: Under produksjon

Oppgave di01:

\int x \cos(x) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x \cos(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Velg u = x og v’ = cos(x)

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

\textcolor{red}{u = x} \\ \textcolor{blue}{v' = \cos(x)}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = 1} \\ \textcolor{green}{v = \sin(x)}

\int \textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\cos(x)} dx = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{\sin(x)} - \int \textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{green}{\sin(x)} dx \\ \Rightarrow \quad \int x \cos(x) dx = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave di02:

\int x^5 \ln(x) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x^5 \ln(x) dx = \frac{1}{6} x^6 \ln(x) + \frac{1}{36} x^6 + C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Velg u = ln(x) og v’ = x⁵

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

\textcolor{red}{u = \ln(x)} \\ \textcolor{blue}{v' = x^5}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = \frac{1}{x}} \\ \textcolor{green}{v = \frac{1}{6}x^6}

\int \textcolor{red}{\ln(x)} \textcolor{blue}{x^5} dx = \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{6} x^6} - \int \textcolor{purple}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{6} x^6} dx \\ \Rightarrow \quad \int x^5 \ln(x) dx = \frac{1}{6} x^6 \ln(x) - \frac{1}{6} \int x^5 dx\\ \Rightarrow \quad \int x^5 \ln(x) dx = \frac{1}{6} x^6 \ln(x) - \frac{1}{36} x^6 + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave di03:

\int \ln(x) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Velg u = ln(x) og v’ = 1

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

\textcolor{red}{u = \ln(x)} \\ \textcolor{blue}{v' = 1}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = \frac{1}{x}} \\ \textcolor{green}{v = x}

\int \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{blue}{1} dx = \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{green}{x} - \int \textcolor{purple}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{green}{x} dx \\ \Rightarrow \quad \int \ln(x) dx = x \ln(x) - \int 1 dx\\ \Rightarrow \quad \int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave di04:

\int x e^x dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x e^x dx = x e^x - e^x + C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Velg u = x og v’ = e^x

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

\textcolor{red}{u = x} \\ \textcolor{blue}{v' = e^x}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = 1} \\ \textcolor{green}{v = e^x}

\int \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} dx = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{e^x} - \int \textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{green}{e^x} dx \\ \Rightarrow \quad \int xe^x dx = x e^x - e^x + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave di05:

\int x^2 e^x dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Velg u = x² og v’ = e^x i første delvis integrasjon

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

\textcolor{red}{u = x^2} \\ \textcolor{blue}{v' = e^x}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = 2x} \\ \textcolor{green}{v = e^x}

\int \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} dx = \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{green}{e^x} - \int \textcolor{purple}{2x} \cdot \textcolor{green}{e^x} dx \\ \Rightarrow \quad \int x^2e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx

Bruker delvis integrasjon en gang til:

u = x \\ v' = e^x

\Rightarrow

u' = 1 \\ v = e^x

\int x^2e^x dx = x^2 e^x - 2 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \right) \\ \Rightarrow \quad \int x^2e^x dx = x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave di06:

\int e^{2x} \cos(3x) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int e^{2x} \cos(3x)dx = \frac{3}{13} e^{2x} \sin(3x) + \frac{2}{13}e^{2x} \cos(bx)+ C

Hint 1: Bruk delvis integrasjon to ganger

\int u v’ dx = uv - \int u’v dx

Hint 2: Når du har brukt delvis integrasjon to ganger, vil du få akkurat samme integral også på høyre side av likhetstegnet. Flytt det integralet til venstre side.

Løsning:

\textnormal{Delvis integrasjon:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx

Her kan vi velge hva vi setter som $u$ og $v’$. Begge valg fungerer.

\textcolor{red}{u = e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v' = \cos(3x)}

\Rightarrow

\textcolor{purple}{u' = 2e^{2x}} \\ \textcolor{green}{v = \frac{1}{3} \sin(3x)}

\int \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\cos(3x)} dx = \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{3}\sin(3x)} - \int \textcolor{purple}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{3} \sin(3x)} dx \\ \Rightarrow \quad \int e^{2x} \cos(3x) dx = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) - \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin(3x)dx

For å slippe å skrive så mye definerer vi $I = \int e^{2x} \cos(3x)$ slik at:

I = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) - \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin(3x)dx

Bruker delvis integrasjon en gang til. Hvis vi velger $u = \sin(3x)$ og $v’ = e^{2x}$ nå, vil vi komme tilbake til start. Derfor velger vi:

u = e^{2x} \\ v' = \sin(3x)

\Rightarrow

u' = 2e^{2x} \\ v = -\frac{1}{3} \cos(3x)

I = \frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3} \left( e^{2x} \left(\!-\frac{1}{3} \cos(3x) \!\!\right) - \int \!2e^{2x} \left(\! -\frac{1}{3} \cos(3x) \!\!\right) dx \right) \\ \Rightarrow \quad I = \frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3} \left( - \frac{1}{3} e^{2x} \cos(3x) + \frac{2}{3} \int e^{2x} \cos(3x) dx \right) \\ \Rightarrow \quad \textcolor{red}{I} = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) + \frac{2}{9} e^{2x} \cos(3x) - \frac{4}{9} \textcolor{red}{I}

Nå har vi $I$ på begge sider. Derfor legger vi til $\frac{4}{9}I$ på begge sider:

\begin{array}{lll} I + \frac{4}{9} I = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) + \frac{2}{9} e^{2x} \cos(3x) + C \\ \Rightarrow \quad \frac{13}{9} I = \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3x) + \frac{2}{9} e^{2x} \cos(3x) + C_1 \quad \Big| \cdot \frac{9}{13} \\ \Rightarrow \quad I = \frac{3}{13} e^{2x} \sin(3x) + \frac{2}{13} e^{2x} \cos(3x) + C \end{array}

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet.

Video: Under produksjon

Oppgave su01:

\int \frac{6x^2+2x}{ (2x^3+x^2)^4 } dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \frac{6x^2 + 2x}{ (2x^3 + x^2)^4 } dx = - \frac{1}{3 (2x^3 + x^2)^3} + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg u = 2x³ + x² fordi vi kan integrere 1/u⁴ = u^-4, men ikke 1/(2x³ + x²)⁴

Løsning:

Substituer u(x) = 2x³ + x² fordi vi kan integrere 1/u⁴ = u^-4, men ikke 1/(2x³ + x²)⁴.

Deriverer u(x) for å finne et uttrykk for dx:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = 2x^3 + x^2} \newline \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 6x^2 + 2x \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{6x^2 + 2x} \newline \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{6x^2 + 2x} = dx} \end{aligned}

Setter inn for u og dx for i bli kvitt alle x’ene:

\begin{aligned} & \int \frac{6x^2 + 2x}{ (\textcolor{red}{2x^3+x^2} )^4} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{6x^2 + 2x}{ \textcolor{red}{u}^4} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{6x^2 + 2x}} \newline \Rightarrow \quad & \int \frac{6x^2 + 2x}{ (\textcolor{red}{2x^3+x^2} )^4} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{1}{u^4} du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle x’ene, kan vi integrere 1/u⁴ = u^-4 med hensyn på u:

\begin{aligned} & \int \frac{6x^2 + 2x}{ (2x^3 + x^2)^4 } dx = - \frac{1}{3} u^{-3} + C \\ \Rightarrow \quad & \int \frac{6x^2 + 2x}{ (2x^3 + x^2)^4 } dx = - \frac{1}{3 u^3} + C \end{aligned}

Setter u = 2x³ + x² for å vende tilbake til x:

\int \frac{6x^2 + 2x}{ (2x^3 + x^2)^4 } dx = - \frac{1}{3 (2x^3 + x^2)^3} + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

Oppgave su02:

\int x e^{x^2 + 4} dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x e^{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} e^{x^2 + 4} + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg u = x² + 4 fordi vi kan integrere exp(u), men ikke exp(x² + 4)

Løsning:

Substituer u(x) = x² + 4 fordi vi kan integrere exp(u), men ikke exp(x² + 4).

Deriverer u(x) for å finne et uttrykk for dx:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = x^2 + 1} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 2x \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{2x}\\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{2x} = dx} \end{aligned}

Setter inn for u og dx for i bli kvitt alle x’ene:

\int x e^{\textcolor{red}{x^2 + 4}} \textcolor{blue}{dx} = \int x e^{\textcolor{red}{u}} \textcolor{blue}{\frac{du}{2x}} = \frac{1}{2} \int e^u du

Siden vi er kvitt alle x’ene, kan vi integrere med hensyn på u:

\int x e^{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C

Substituer u(x) = x² + 4 for å vende tilbake til x:

\int x e^{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} e^{x^2 + 4} + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

Oppgave su03:

\int x^2 \cos(x^3 + 7) dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int x^2 \cos(x^3 + 7) dx = \frac{1}{3} \sin(x^3 + 7) + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg u = x³ + 7 fordi vi kan integrere cos(u), men ikke cos(x³ + 7)

Løsning:

Substituer u(x) = x³ + 7 fordi vi kan integrere cos(u), men ikke cos(x³ + 7).

Deriverer u(x) for å finne et uttrykk for dx:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = x^3 + 7} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 3x^2 \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{3x^2}\\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2} = dx} \end{aligned}

Setter inn for u og dx for i bli kvitt alle x’ene:

\begin{aligned} & \int x^2 \cos( \textcolor{red}{x^3 + 7} ) \textcolor{blue}{dx} = \int x^2 \cos(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2}} \\ \Rightarrow \qquad & \int x^2 \cos(x^3 + 7) dx= \frac{1}{3} \int \cos(u) du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle x’ene, kan vi integrere med hensyn på u:

\int x^2 \cos(x^3 + 7) dx = \frac{1}{3} \sin(u) + C

Substituer u(x) = x² + 4 for å vende tilbake til x:

\int x^2 \cos(x^3 + 7) dx = \frac{1}{3} \sin(x^3 + 7) + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

Oppgave su04:

\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} dx = - \cos(\ln(x)) + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg u = ln(x) fordi vi kan integrere sin(u), men ikke sin(ln(x))

Løsning:

Substituer u(x) = ln(x) fordi vi kan integrere sin(u), men ikke sin(ln(x)).

Deriverer u(x) for å finne et uttrykk for dx:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = \ln(x)} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\qquad \qquad | \cdot x \; dx \\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{x \; du = dx} \end{aligned}

Setter inn for u og dx for i bli kvitt alle x’ene:

\begin{aligned} & \int \frac{\sin( \textcolor{red}{\ln(x)})}{x} \textcolor{blue}{dx} = \int \frac{\sin(\textcolor{red}{u})}{x} \cdot \textcolor{blue}{x \; du } \\ \Rightarrow \qquad & \int \frac{\sin(\ln(x))}{x}dx= \int \sin(u) du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle x’ene, kan vi integrere sin(u) med hensyn på u:

\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} dx = - \cos(u) + C

Substituer u(x) = ln(x) for å vende tilbake til x:

\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} dx = - \cos(\ln(x)) + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

Oppgave su05:

\int \cos(x) (\sin(x) + 5)^2 dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int \cos(x) (\sin(x) + 5)^2 dx = \frac{1}{3} (\sin(x) + 5)^3 + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg $u = sin(x) + 5$ fordi vi kan integrere $u^2$, men ikke $(\sin(x) + 5)^2$.

Løsning:

Substituer $\textcolor{red}{u(x) = \sin(x) + 5}$ fordi vi kan integrere u², men ikke (sin(x) + 5)².

Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = \sin(x) + 5} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = \cos(x) \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{\cos(x)}\\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{\cos(x)} = dx} \end{aligned}

Setter inn for $u$ og $dx$ for i bli kvitt alle $x$’ene:

\begin{aligned} & \int \cos(x) ( \textcolor{red}{\sin(x) + 5})^2 \textcolor{blue}{dx} = \int \cos(x) \textcolor{red}{u}^2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{\cos(x)} } \\ \Rightarrow \qquad & \int \cos(x) ( \sin(x) + 5)^2 dx= \int u^2 du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle x’ene, kan vi integrere u² med hensyn på u:

\int \cos(x) (\sin(x) + 5)^2 dx = \frac{1}{3} u^3 + C

Substituer u(x) = sin(x) + 5 for å vende tilbake til x:

\int \cos(x) (\sin(x) + 5)^2 dx = \frac{1}{3} (\sin(x) + 5)^3 + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

Oppgave su06:

\int e^x \sqrt{1 + e^x} dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int e^x \sqrt{1 + e^x} dx = \frac{2}{3} (1 + e^x)^{3/2} + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg $u = 1 + e^x$ fordi vi kan integrere $\sqrt{u}$, men ikke $\sqrt{1 + e^x}$.

Løsning:

Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 1 + e^x}}$ fordi vi kan integrere $\sqrt{u}$, men ikke $\sqrt{1 + e^x}$.

Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = e^x + 1} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = e^x \qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{e^x}\\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{e^x} = dx} \end{aligned}

Setter inn for $u$ og $dx$ for i bli kvitt alle $x$’ene:

\begin{aligned} & \int e^x \sqrt{\textcolor{red}{1 + e^x}} \; \textcolor{blue}{dx} = \int e^x \sqrt{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{e^x} } \\ \Rightarrow \qquad & \int e^x \sqrt{1 + e^x} \; dx= \int \sqrt{u} \; du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere $\sqrt{u} = u^{1/2}$ med hensyn på $u$:

\int e^x \sqrt{1 + e^x} \; dx = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{1 + \frac{1}{2}} + C \\ \Rightarrow \quad \int e^x \sqrt{1 + e^x} \; dx = \frac{2}{3} u^{3/2} + C

Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 1 + e^x}$ for å vende tilbake til $x$:

\int e^x \sqrt{1 + e^x} \; dx = \frac{2}{3} (1 + e^x)^{3/2} + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen.

Video: Under produksjon

Oppgave su07:

\int 9x^2 (7 + x^3)^8 dx

Fasit

Hint 1

Hint 2

Løsning

Video

Fasit:

\int 9 x^2 (7 + x^3)^2 \; dx = \frac{1}{3} (7 + x^3)^9 + C

Hint 1: Bruk substitusjon

\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du

Hint 2: Velg $u = 7 + x^3$ fordi vi kan integrere $u^8$ og den deriverte av $u$ finnes foran parentesen.

Løsning:

Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 7 + x^3}}$ fordi vi kan integrere $u^8$ og den deriverte av $u$ også er der.

Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{u = 7 + x^3} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{du}{dx} = 3x^2\qquad \qquad | \cdot \frac{dx}{3x^2}\\ \Rightarrow \qquad & \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2} = dx} \end{aligned}

Setter inn for $u$ og $dx$ for i bli kvitt alle $x$’ene:

\begin{aligned} & \int 9x^2 (\textcolor{red}{7 + x^3})^8 \; \textcolor{blue}{dx} = \int 9x^2 \textcolor{red}{u}^8 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{3x^2} } \\ \Rightarrow \qquad & \int 9 x^2 (7 + x^3)^8 \; dx= \int 3 u^8 \; du \end{aligned}

Siden vi er kvitt alle $x$’ene, kan vi integrere med hensyn på $u$:

\int 9 x^2 (7 + x^3)^8 \; dx = \frac{3}{8 + 1} u^{8 + 1} + C \\ \Rightarrow \quad \int 9 x^2 (7 + x^3)^8 \; dx = \frac{3}{9} u^9+ C \\ \Rightarrow \quad \int 9 x^2 (7 + x^3)^8 \; dx = \frac{1}{3} u^9+ C \\

Substituer $\textcolor{red}{u(x) = 7 + x^3}$ for å vende tilbake til $x$:

\int 9 x^2 (7 + x^3)^2 \; dx = \frac{1}{3} (7 + x^3)^9 + C

Sjekk gjerne svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av kjerneregelen

Video: Under produksjon

← Matematikk

Formelsamling
Delvis integrasjon
Substitusjon

Oppgave fs01:

Oppgave fs02:

Oppgave fs03:

Oppgave fs04:

Oppgave di01:

Oppgave di02:

Oppgave di03:

Oppgave di04:

Oppgave di05:

Oppgave di06:

Oppgave su01:

Oppgave su02:

Oppgave su03:

Oppgave su04:

Oppgave su05:

Oppgave su06:

Oppgave su07:

← Matematikk

→ Derivasjon