Alle oppgaver
Alle oppgaver
SeparableOppgaver: Differensialligninger
Velg type oppgaver:
Integrerende faktor
Homogen av 1. ordenTips 1: Prøv selv før du sjekker fasit eller løsning. Hintene kan hjelpe deg på vei.
Tips 2: Husk at det finnes flere måter å løse samme oppgave.
Løs differensialligningen
y'- xy = 0
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = Ce^{\frac{1}{2}x^2}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er separabel kan skrives på formen:
p(y)y ' = q(x)
Løsning: Start med å skrive $y’(x) = \frac{dy}{dx}$:
\frac{dy}{dx} - xy = 0Separer slik at $x$ og $y$ er på hver sin side:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{dy}{dx} - xy &=& 0 & | + xy\\
\Rightarrow & \frac{dy}{dx} &=& xy & | \cdot \frac{1}{y} \\
\Rightarrow & \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &=& x & | \cdot dx \\
\Rightarrow & \frac{1}{y} dy &=& x dx
\end{array}Integrer begge sider:
\int \frac{1}{y} dy = \int x dx \\
\Rightarrow \quad \ln y = \frac{1}{2}x^2 + C_0Skriv $y$ som en funksjon av $x$:
\begin{array}{rrcl}
& e^{\ln y} &=& e^{\frac{1}{2}x^2 + C_0} \\
\Rightarrow & y(x) &=& e^{\frac{1}{2}x^2} e^{C_0} \\
\Rightarrow & y(x) &=& Ce^{\frac{1}{2}x^2}
\end{array}der vi har satt $C$ lik konstanten $e^{C_0}$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y'- \frac{\;x^2}{y} = 0når $y(0) = 4$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + 16}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er separabel kan skrives på formen:
p(y)y ' = q(x)
Løsning: Start med å skrive $y’(x) = \frac{dy}{dx}$:
\frac{dy}{dx} - \frac{\;x^2}{y} = 0Separer slik at $x$ og $y$ er på hver sin side:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{dy}{dx} - \frac{\;x^2}{y} &=& 0 & | + \frac{\;x^2}{y} \\
\Rightarrow & \frac{dy}{dx} &=& \frac{\;x^2}{y} & | \cdot y \\
\Rightarrow & y \:\frac{dy}{dx} &=& x^2 & | \cdot dx \\
\Rightarrow & y \: dy &=& x^2 \:dx
\end{array}Integrer begge sider:
\int y\: dy = \int x^2 \:dx \\
\Rightarrow \quad \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{3}x^3 + C_0Skriv $y$ som en funksjon av $x$:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{1}{2} y^2 &=& \frac{1}{3} x^3 + C_0 & \quad | \cdot 2 \\
\Rightarrow & y^2 &=& \frac{2}{3}x^3 + 2C_0 & \quad | \sqrt{\dots} \\
\Rightarrow & y &=& \pm \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + C}
\end{array}der vi har satt $C$ lik konstanten $2C_0$.
Setter $x=0$ for å bruke startbetingelsen $y(0) = 4$:
y(0) = \sqrt{0 + C} \quad \Rightarrow \quad 4 = \sqrt{C} \quad \Rightarrow \quad C = 16Legg merke til at vi må velge et fortegn foran rottegnet. Siden $y(0) > 0$ må vi bruke plusstegnet.
Og, vips, har vi løsningen:
y(x) = \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + 16}Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y'- \frac{\;x^2}{y} = \frac{1}{y}når $y(0) = 4$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = \sqrt{2x + \frac{2}{3}x^3 + 16}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er separabel kan skrives på formen:
p(y)y ' = q(x)
Løsning: Start med å skrive $y’(x) = \frac{dy}{dx}$:
\frac{dy}{dx} - \frac{\;x^2}{y} = \frac{1}{y}Separer slik at $x$ og $y$ er på hver sin side:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{dy}{dx} - \frac{\;x^2}{y} &=& \frac{1}{y} & | + \frac{\;x^2}{y} \\
\Rightarrow & \frac{dy}{dx} &=& \frac{1 + x^2}{y} & | \cdot y \\
\Rightarrow & y \:\frac{dy}{dx} &=& 1 + x^2 & | \cdot dx \\
\Rightarrow & y \: dy &=& (1 + x^2) \:dx
\end{array}Integrer begge sider:
\int y\: dy = \int (1 + x^2) \:dx \\
\Rightarrow \quad \frac{1}{2}y^2 = x + \frac{1}{3}x^3 + C_0Skriv $y$ som en funksjon av $x$:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{1}{2} y^2 &=& x + \frac{1}{3} x^3 + C_0 & \quad | \cdot 2 \\
\Rightarrow & y^2 &=& 2x + \frac{2}{3}x^3 + 2C_0 & \quad | \sqrt{\dots} \\
\Rightarrow & y &=& \pm \sqrt{2x + \frac{2}{3}x^3 + C}
\end{array}der vi har satt $C$ lik konstanten $2 C_0$.
Setter $x=0$ for å bruke startbetingelsen $y(0) = 4$:
y(0) = \sqrt{0 + C} \quad \Rightarrow \quad 4 = \sqrt{C} \quad \Rightarrow \quad C = 16Legg merke til at vi må velge et fortegn foran rottegnet. Siden $y(0) > 0$ må vi bruke plusstegnet.
Og, vips, har vi løsningen:
y(x) = \sqrt{2x + \frac{2}{3}x^3 + 16}Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y' = \frac{x^2}{y^2}Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = \sqrt{x^3 + C} \quad \textnormal{ eller } \quad y(x) = - \sqrt{x^3 + C}som bare er gyldig når $x^3 + C \ge 0$.
Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er separabel kan skrives på formen:
p(y)y ' = q(x)
Løsning: Start med å skrive $y’(x) = \frac{dy}{dx}$:
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}Separer slik at $x$ og $y$ er på hver sin side:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{dy}{dx} &=& \frac{x^2}{y^2} & | \cdot y^2 \\
\Rightarrow & y^2 \frac{dy}{dx} &=& x^2 & | \cdot dx \\
\Rightarrow & y^2 \: dy &=& x^2 \:dx
\end{array}Integrer begge sider:
\int y^2\: dy = \int x^2 \:dx \\
\Rightarrow \quad \frac{1}{3}y^3 = \frac{1}{3} x^3 + C_0
Skriv $y$ som en funksjon av $x$:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{1}{3} y^2 &=& \frac{1}{3} x^3 + C_0 & \quad | \cdot 3 \\
\Rightarrow & y^2 &=& x^3 + 3C_0 &\quad | \sqrt{\dots} \\
\Rightarrow & y &=& \pm \sqrt{x^3 + C}
\end{array}der vi har satt $C$ lik konstanten $3 C_0$.
Legg merke til at vi ikke kan velge et fortegn foran rottegnet siden vi mangler informasjon.
Og, vips, har vi løsningen:
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y' = x^2 y^3
når $y(1) = 3$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = \frac{3}{\sqrt{7 - 6x^3}}som bare er gyldig når $7 – 6x^3 \ge 0$.
Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er separabel kan skrives på formen:
p(y)y ' = q(x)
Løsning: Start med å skrive $y’(x) = \frac{dy}{dx}$:
\frac{dy}{dx} = x^2 y^3Separer slik at $x$ og $y$ er på hver sin side:
\begin{array}{rrcll}
& \frac{dy}{dx} &=& x^2 y^3 & | \cdot \frac{1}{y^3} \\
\Rightarrow & \frac{1}{y^3} \frac{dy}{dx} &=& x^2 & | \cdot dx \\
\Rightarrow & y^3 \: dy &=& x^2 \:dx
\end{array}Integrer begge sider:
\begin{array}{rrll}
& \int \frac{1}{y^3}\: dy & = \int x^2 \:dx \\
\Rightarrow \quad & \int y^{-3} \: dy & = \int x^2 \:dx \\
\Rightarrow \quad & - \frac{1}{2}y^{-2} & = \frac{1}{3} x^3 + C
\end{array}Vi kan bruke startbetingelsen, $y(1) = 3$, når vi ønsker. For å slippe å styre med en ukjent konstant, kan vi like gjerne bruke den med en gang. Derfor setter vi $x=1$ og $y=3$:
\begin{aligned}
-\frac{1}{2} \cdot 3^{-2} &= \frac{1}{3} \cdot 1^3 + C \\
\Rightarrow \quad C & = -\frac{1}{18} - \frac{1}{3} \\
\Rightarrow \quad C & = - \frac{7}{18}
\end{aligned}Skriv $y$ som en funksjon av $x$:
\begin{array}{rrcll}
& - \frac{1}{2} y^{-2} &=& \frac{1}{3} x^3 - \frac{7}{18} & \quad | \cdot y^2 \\
\Rightarrow & -\frac{1}{2} &=& \Big(\frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{18} \Big) y^2 & \quad | \cdot 18 \\
\Rightarrow & -9 &=& \Big(6x^3 - 7 \Big) y^2 & \quad | \cdot \frac{1}{6x^3 - 7} \\
\Rightarrow & -\frac{9}{6x^3 - 7} &=& y^2 \\
\Rightarrow & \frac{9}{7 - 6x^3} &=& y^2 &\quad | \sqrt{\dots} \\
\Rightarrow & y &=& \pm \frac{3}{\sqrt{7 - 6x^3}}
\end{array}Legg merke til at vi må velge et fortegn foran rottegnet. Siden $y(1) > 0$ må vi bruke plusstegnet.
Og, vips, har vi løsningen:
y(x) = \frac{3}{\sqrt{7 - 6x^3}}som bare er gyldig når $7 – 6x^3 \ge 0$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y'+ xy = 4x
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = 4 + Ce^{- \frac{1}{2}x^2}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen har ikke konstante koeffisienter, siden koeffisienten til $y$ er $x$. Ligningen kan skrives på formen:
y ' + p(x) y = q(x)
der $p(x) = x$ og $q(x) = 4x$. Den kan løses med integrerende faktor.
Løsning: Finner først den integrerende faktoren:
v(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{\int x dx} = e^{\frac{1}{2}x^2}Nå kan du enten bruke formelen for $y$ eller produktregelen baklengs. Hvis vi velger formelen for $y$:
\begin{aligned}
& y = \frac{1}{v(x)} \int v(x) \cdot q(x) dx \\
\Rightarrow \quad & y = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}x^2}} \int e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot 4x \:dx \\
\Rightarrow \quad & y = 4 e^{- \frac{1}{2}x^2} \int x e^{\frac{1}{2}x^2} \:dx
\end{aligned}Substituerer $\textcolor{red}{u(x) = \frac{1}{2} x^2}$ fordi vi kan integrere $e^u$, men ikke $e^{\frac{1}{2}x^2}$.
Deriverer $u(x)$ for å finne et uttrykk for $dx$:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{u} &&= \textcolor{red}{\frac{1}{2}x^2} & \\
\Rightarrow \quad & \frac{du}{dx} &&= x & | \cdot \frac{dx}{x} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{\frac{1}{x} du} &&= \textcolor{blue}{dx}
\end{aligned}Setter inn for $\textcolor{red}{u}$ og $\textcolor{blue}{dx}$ i håp om å bli kvitt alle $x$´ene i integralet:
\begin{aligned}
& \int x e^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}x^2}} \: \textcolor{blue}{dx} = \int x e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{x} du} \\
\Rightarrow \quad & \int xe^{\frac{1}{2}x^2} dx = \int e^u du \\
\Rightarrow \quad & \int xe^{\frac{1}{2}x^2} dx = e^u + C \\
\Rightarrow \quad & \int xe^{\frac{1}{2}x^2} dx = e^{\frac{1}{2}x^2} + C \\
\end{aligned}Endelig kan vi sette inn i uttrykket for $y$:
\begin{aligned}
& y = 4 e^{- \frac{1}{2}x^2} \int x e^{\frac{1}{2}x^2} \:dx \\
\Rightarrow \quad & y = 4 e^{- \frac{1}{2}x^2} \Big(e^{\frac{1}{2}x^2} + C \Big) \\
\Rightarrow \quad & y(x) = 4 + 4Ce^{- \frac{1}{2}x^2}
\end{aligned}(Ofte byttes $4C$ ut med en ny konstant.)
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y'+ 4y = 0
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = Ce^{-\frac{1}{4}x}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er lineær, homogen, har konstante koeffisienter og er av første orden. Den kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har en enkel løsning.
Løsning: Lineære, homogene differensialligninger av første orden kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har løsning:
y(x) = Ce^{-\frac{b}{a}x}Her er $a = 1$ og $b = 4$, dermed har ligningen generell løsning:
y(x) = Ce^{-\frac{1}{4}x}Siden startbetingelsen mangler, kan vi ikke bestemme $C$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
3y'+ 2y = 0
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = Ce^{-\frac{2}{3}x}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er lineær, homogen, har konstante koeffisienter og er av første orden. Den kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har en enkel løsning.
Løsning: Lineære, homogene differensialligninger av første orden kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har løsning:
y(x) = Ce^{-\frac{b}{a}x}Her er $a = 3$ og $b = 2$, dermed har ligningen generell løsning:
y(x) = Ce^{-\frac{2}{3}x}Siden startbetingelsen mangler, kan vi ikke bestemme $C$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
2y'- y = 0
når $y(0) = 7$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = 7e^{\frac{1}{2}x}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er lineær, homogen, har konstante koeffisienter og er av første orden. Den kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har en enkel løsning.
Løsning: Lineære, homogene differensialligninger av første orden kan skrives på formen:
ay' + b y = 0
og har løsning:
y(x) = Ce^{-\frac{b}{a}x}Her er $a = 2$ og $b = -1$, dermed har ligningen generell løsning:
y(x) = Ce^{\frac{1}{2}x}Siden $y(0) = 7$, kan vi bestemme $C$:
y(0) = C e^0 \quad \Rightarrow \quad C = 7
Og, vips, har vi løsningen:
y(x) = 7e^{\frac{1}{2}x}Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Er $y(x) = 6e^{\frac{4}{3}x}$ en løsning av differensialligningen
3y'- 4y = 0
når $y(0) = 6$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit: Ja, løsningen tilfredsstiller både differensialligningen og startbetingelsen.
Hint 1: Når du skal sjekke en løsning, trenger du bare derivere og sette inn.
Hint 2: Når du skal sjekke om en løsning tilfredsstiller startbetingelsen, setter du bare $x=0$ i løsningen for å se om:
y(0) = 6
Løsning: Den enkleste måten å sjekke om en løsning stemmer, er å først derivere løsningen:
\begin{aligned}
y(x) &= 6e^{\frac{4}{3}x} \\
\Rightarrow \quad y'(x) &= 6 \cdot \frac{4}{3} e^{\frac{4}{3}x} = 8 e^{\frac{4}{3}x}
\end{aligned}og deretter sette inn i differensialligningen:
3\textcolor{red}{y'}- 4\textcolor{blue}{y} = 3 \cdot \textcolor{red}{8e^{\frac{4}{3}x}} - 4 \cdot \textcolor{blue}{6e^{\frac{4}{3}x}} = 24e^{\frac{4}{3}x} - 24e^{\frac{4}{3}x} = 0Siden høyre side ble lik venstre side i differensialligningen (her: null), er løsningen en gyldig.
Deretter må vi sjekke om den også tilfredsstiller startbetingelsen, $y(0) = 6$:
y(x) = 6e^{\frac{4}{3}x} \\
y(0) = 6 e^0 = 6Og, vips, vet vi at løsningen tilfredsstiller differensialligningen og startbetingelsen.
Video: Under produksjon
Er $y(x) = 4e^{\frac{5}{2}x}$ en løsning av differensialligningen
2y'+ 5y = 0
når $y(0) = 4$.
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit: Nei, løsningen tilfredsstiller ikke differensialligningen.
Hint 1: Når du skal sjekke en løsning, trenger du bare derivere og sette inn.
Hint 2: Når du skal sjekke om en løsning tilfredsstiller startbetingelsen, setter du bare $x=0$ i løsningen for å se om:
y(0) = 4
Løsning: Den enkleste måten å sjekke om en løsning stemmer, er å først derivere løsningen:
\begin{aligned}
y(x) &= 4e^{\frac{5}{2}x} \\
\Rightarrow \quad y'(x) &= 4 \cdot \frac{5}{2} e^{\frac{5}{2}x} = 10 e^{\frac{5}{2}x}
\end{aligned}og deretter sette inn i differensialligningen:
2\textcolor{red}{y'} + 5\textcolor{blue}{y} = 2 \cdot \textcolor{red}{10e^{\frac{5}{2}x}} + 5 \cdot \textcolor{blue}{4e^{\frac{5}{2}x}} = 20e^{\frac{5}{2}x} + 20e^{\frac{4}{3}x} = 40 e^{\frac{5}{2}x}Siden venstre side ikke ble lik høyre side i differensialligningen (her: null), er løsningen en ugyldig.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y''+ y' - 6y = 0
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = Ae^{-3x} + Be^{2x}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er lineær, homogen, har konstante koeffisienter og er av andre orden. Derfor kan du anta løsning på formen:
y(x) = e^{\lambda x}Løsning: Lineære, homogene differensialligninger av andre orden kan skrives på formen:
ay'' + by' + cy = 0
Her er $a = 1$, $b = 1$ og $c=-6$.
Når vi antar løsning på formen $y = e^{\lambda x}$, får vi den karakteristiske ligningen:
\lambda^2 + \lambda - 6 = 0
som vi kan løse som en andregradsligning:
\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \frac{-1 \pm 5}{2} \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \quad \textnormal{ eller } \lambda = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\end{aligned}Siden vi har to reelle, ulike røtter, er generell løsning:
y(x) = Ae^{-3x} + Be^{2x}Siden startbetingelsen mangler, kan vi ikke bestemme $A$ og $B$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Løs differensialligningen
y''- 4y' + 3y = 0
Fasit
Hint 1
Hint 2
Løsning
Video
Fasit:
y(x) = Ae^{x} + Be^{3x}Hint 1: Bruk gjerne beslutningstreet for å finne hvilken metode som kan brukes.
Hint 2: Ligningen er lineær, homogen, har konstante koeffisienter og er av andre orden. Derfor kan du anta løsning på formen:
y(x) = e^{\lambda x}Løsning: Lineære, homogene differensialligninger av andre orden kan skrives på formen:
ay'' + by' + cy = 0
Her er $a = 1$, $b = -4$ og $c=3$.
Når vi antar løsning på formen $y = e^{\lambda x}$, får vi den karakteristiske ligningen:
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
som vi kan løse som en andregradsligning:
\begin{aligned}
& \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \frac{4 - 2}{2} = 1 \quad \textnormal{ eller } \lambda = \frac{4 + 2}{2} = 3
\end{aligned}Siden vi har to reelle, ulike røtter, er generell løsning:
y(x) = Ae^{x} + Be^{3x}Siden startbetingelsen mangler, kan vi ikke bestemme $A$ og $B$.
Sjekk gjerne svaret ved sette inn i differensialligningen.
Video: Under produksjon
Separable differensiallignigner
Integrerende faktor
Homogen av 1. orden
Homogen av 2. orden
Inhomogene differensialligninger