Vi kan bruke Laplace transformasjon til å løse lineære differensialligninger:
ay'' + by' + y = f(t)
+ Hvordan?
Steg 1: Ta Laplace transformasjonen av begge sider:
\mathcal{L}(ay'' + by' + cy) = \mathcal{L}\big(f(t)\big) Steg 2: Del opp venstre side, sett $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruk formlene for Laplace av deriverte:
\begin{array}{lllll}
& a\; \mathcal{L}(y'') & + b \; \mathcal{L}(y') & + c \mathcal{L}(y) & = \mathcal{L}\big( f(t) \big) \\
\Rightarrow \quad & a \Big(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \Big) & + b \Big( sY(s) - y(0) \Big) &+ c Y(s) & = \mathcal{L} \big( f(t) \big)
\end{array}Steg 3: Bruk uttrykkene for $y(0)$ og $y'(0)$.
Steg 4: Finn Laplace transformen av $f(t)$.
Steg 5: Finn et uttrykk for $Y(s)$.
Steg 6: Ofte må uttrykket for $Y(s)$ skrives om (f.eks. delbrøksoppspaltning).
Steg 7: Finn den inverse Laplace transformasjonen av ligningen.
(Steg 8: Sjekk svaret)
+ Eksempel 1: $2y’ – 3y = 0$ når $y(0)=4$
Løs differensialligningen:
2y' - 3y = 0
når $y(0) = 4$.
+ Kort video
Steg 1: Ta Laplace transformasjonen av begge sider:
\mathcal{L}(2y' - 3y) = \mathcal{L}(0)Steg 2: Del opp venstre side, sett $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruk formelen for Laplace av deriverte:
2\mathcal{L}(y') - 3\mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(0) \\
\Rightarrow \quad
2 \Big( sY(s) - y(0) \Big) - 3Y(s) = \mathcal{L} (0)Steg 3: Sett $y(0) = 4$:
2\Big(sY(s) - 4\Big) - 3Y(s) = \mathcal{L} (0) \\
\Rightarrow \quad 2sY(s) - 8- 3Y(s) = \mathcal{L} (0)Steg 4: Finn Laplace transformen til $0$:
\mathcal{L} (0) = 0Steg 5: Finn et uttrykk for $Y(s)$:
\begin{aligned}
& 2sY(s) - 8 - 3Y(s) = 0 && | + 8 \\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big(2s - 3\big) = 8 && | \cdot \frac{1}{2s-3}\\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{8}{2s - 3}
\end{aligned}Steg 6: Omformulerer uttrykket for $Y(s)$ slik at vi kan bruke tabellen for å finne $y(t)$. Her må vi ha nevneren på formen ($s$ – konstant):
Y(s) = \frac{8}{2s - 3} = \frac{8}{2\left(s - \frac{3}{2}\right)} = \frac{8}{2} \cdot \frac{1}{s - \frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{s - \frac{3}{2}}Steg 7: Finn den inverse Laplace transformasjonen av ligningen:
Y(s) = 4 \cdot \frac{1}{s - \frac{3}{2}}\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \big(Y(s)\big) = 4 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-\frac{3}{2}} \right)Bruker linje 4 i tabellen for å finne $y$:
y(t) = 4e^{\frac{3}{2}t}Steg 8: Vi kan sjekke svaret ved å derivere og sette inn i den opprinnelige ligningen:
\begin{aligned}
\textnormal{Deriverer }y: \quad & y' = 4 \cdot \frac{3}{2 }e^{\frac{3}{2}t} = 6 e^{\frac{3}{2}t} \\
\textnormal{Setter inn}: \quad & 2y' - 3y = 2 \cdot 6e^{\frac{3}{2}t} - 3 \cdot 4 e^{\frac{3}{2}t} = 0 & \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker }y(0): \quad & y(0) = 4 \cdot e^{\frac{3}{2} \cdot 0} = 4 & \textnormal{ok}
\end{aligned}+ Eksempel 2: $y’ – y=e^{2t}$ når $y(0)=3$
Løs differensialligningen:
y' - y=e^{2t}når $y(0) = 3$.
Steg 1: Ta Laplace transformasjonen av begge sider:
\mathcal{L}(y' - y) = \mathcal{L}\left(e^{2t}\right) Steg 2: Del opp venstre side, sett $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruk formelen for Laplace av deriverte:
\mathcal{L}(y') - \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}\left(e^{2t}\right) \\
\Rightarrow \quad
\Big( sY(s) - y(0) \Big) - Y(s) = \mathcal{L} \left( e^{2t} \right)Steg 3: Sett $y(0) = 3$:
sY(s) - 3 - Y(s) = \mathcal{L} \left( e^{2t} \right)Steg 4: Finn Laplace transformen til $e^{2t}$ ved hjelp av tabellen:
\mathcal{L} \left( e^{2t} \right) = \frac{1}{s - 2}Steg 5: Finn et uttrykk for $Y(s)$:
\begin{aligned}
& sY(s) - 3 - Y(s) = \frac{1}{s-2} && | + 3 \\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big(s - 1\big) = \frac{1}{s-2} + 3 && \textnormal{Felles nevner}\\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big(s - 1\big) = \frac{1}{s-2} + \frac{3(s-2)}{s-2} && \textnormal{Samme brøkstrek} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big(s - 1\big) = \frac{1 + 3s - 6}{s-2} && | \cdot \frac{1}{s-1}\\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{3s - 5}{(s-2)(s - 1)}
\end{aligned}Steg 6: Omformulerer uttrykket for $Y(s)$ slik at vi kan bruke tabellen for å finne $y(t)$. Her må vi bruke delbrøksoppspaltning:
\begin{aligned}
& \frac{3s - 5}{(s-2)(s-1)} = \frac{A}{s - 2} + \frac{B}{s - 1} \quad | \cdot (s-2)(s-1)\\
\Rightarrow \quad & 3s - 5 = A(s-1)+ B(s-2) \\
\Rightarrow \quad & \left\{ \begin{array}{lll}
\textnormal{Hvis } s = 1: \quad 3 \cdot 1 - 5 = B(1-2) & \Rightarrow -2 = -B & \Rightarrow \quad B = 2 \\
\textnormal{Hvis } s = 2: \quad 3 \cdot 2 - 5 = A(2-1) & \Rightarrow 1 = A & \Rightarrow \quad A = 1
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \quad & \frac{3s - 5}{(s-2)(s-1)} = \frac{1}{s - 2} + \frac{2}{s - 1}
\end{aligned}Steg 7: Finn den inverse Laplace transformasjonen av ligningen:
Y(s) = \frac{1}{s - 2} + \frac{2}{s - 1}\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \big(Y(s)\big) = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-2} \right) + 2 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-1} \right)Bruker linje 4 i tabellen for å finne $y$:
y(t) = e^{2t} + 2 e^tSteg 8: Vi kan sjekke svaret ved å derivere og sette inn i den opprinnelige ligningen:
\begin{aligned}
\textnormal{Deriverer }y: \quad & y' = 2e^{2t} + 2e^t \\
\textnormal{Setter inn}: \quad & y' - y = (2e^{2t} + 2e^t) - (e^{2t} + 2e^t) = e^{2t} & \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker }y(0): \quad & y(0) = e^{2 \cdot 0} + 2e^0 = 1 + 2 = 3 & \textnormal{ok}
\end{aligned}+ Eksempel 3: $y’\!\;’ – 7y’ + 10y = 0$ når $y(0) = 1$ og $y’(0) = 2$
Løs differensialligningen:
y'' - 7y' + 10y = 0
når $y(0) = 1$ og $y'(0) = 2$.
Steg 1: Ta Laplace transformasjonen av begge sider:
\mathcal{L}(y'' - 7y' + 10y) = \mathcal{L}(0)Steg 2: Del opp venstre side, sett $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruk formlene for Laplace av deriverte:
\mathcal{L}(y'') - 7 \mathcal{L}(y') + 10 \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(0) \\
\Rightarrow \quad
\Big(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \Big) - 7 \Big( sY(s) - y(0) \Big) + 10 Y(s) = \mathcal{L}(0)Steg 3: Sett $y(0) = 1$ og $y'(0) = 2$:
\Big( s^2Y(s) - s - 2) - 7 \Big( sY(s) - 1\Big) + 10 Y(s) = \mathcal{L}(0)Steg 4: Finn Laplace transformen til $0$:
\mathcal{L}(0) = 0Steg 5: Finn et uttrykk for $Y(s)$:
\begin{aligned}
& \Big(s^2 Y(s) - s - 2 \Big) - 7 \Big( sY(s) - 1 \Big) + 10Y(s) = 0 \\
\Rightarrow \quad &s^2 Y(s) - s - 2 - 7 sY(s) + 7 + 10Y(s) = 0 && | + s - 5\\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big( s^2 - 7s + 10 \big) = s - 5\\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{s-5}{s^2 - 7s + 10}
\end{aligned}Steg 6: Omformulerer uttrykket for $Y(s)$ slik at vi kan bruke tabellen for å finne $y(t)$. Her må vi først faktorisere nevneren:
\begin{aligned}
& s^2 - 7s + 10 = 0 \\
\Rightarrow \quad & s = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2} \\
\Rightarrow \quad & s = \frac{7-3}{2} = 2 \quad \textnormal{ eller } \quad s = \frac{7 + 3}{2} = 5 \\
\Rightarrow \quad & s^2 - 7s + 10 = (s-2)(s-5)
\end{aligned}Dermed har vi:
\frac{s-5}{s^2 - 7s + 10} = \frac{s-5}{(s-2)(s-5)} = \frac{1}{s-2}Steg 7: Finn den inverse Laplace transformasjonen av ligningen:
Y(s) = \frac{1}{s - 2}\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \big(Y(s)\big) = \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-2} \right)Bruker linje 4 i tabellen for å finne $y$:
y(t) = e^{2t}Steg 8: Vi kan sjekke svaret ved å derivere og sette inn i den opprinnelige ligningen:
\begin{aligned}
\textnormal{Deriverer }y: \quad & y' = 2 e^{2t} \\
& y'' = 4 e^{2t} \\
\textnormal{Setter inn}: \quad & y'' - 7y' + 10y = 4e^{2t} -7 \cdot 2e^{2t} + 10 e^{2t} = 0 & \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker } y(0): \quad & y(0) = e^{2 \cdot 0} = 1 & \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker } y'(0): \quad & y'(0) = 2 e^{2 \cdot 0} = 2 & \textnormal{ok}
\end{aligned}+ Eksempel 4: $y’\!\:’ – 3y’ + 2y = e^{3t}$ når $y(0) = 0$ og $y’(0) = 0$
Løs differensialligningen:
y'' - 3y' + 2y = e^{3t}når $y(0) = y'(0) = 0$.
Steg 1: Ta Laplace transformasjonen av begge sider:
\mathcal{L}(y'' - 3y' + 2y) = \mathcal{L}\left(e^{3t}\right)Steg 2: Del opp venstre side, sett $\mathcal{L}(y) = Y(s)$ og bruk formlene for Laplace av deriverte:
\mathcal{L}(y'') - 3 \mathcal{L}(y') + 2 \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}\left(e^{3t}\right) \\
\Rightarrow \quad
\Big(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \Big) - 3 \Big( sY(s) - y(0) \Big) + 2 Y(s) = \mathcal{L} \left( e^{3t} \right)Steg 3: Sett $y(0) = 0$ og $y'(0) = 0$:
s^2Y(s) - 3 sY(s) + 2 Y(s) = \mathcal{L} \left( e^{3t} \right)Steg 4: Finn Laplace transformen til $e^{3t}$ ved hjelp av tabellen:
\mathcal{L} \left( e^{3t} \right) = \frac{1}{s - 3}Steg 5: Finn et uttrykk for $Y(s)$:
\begin{aligned}
& s^2 Y(s) - 3sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s-3} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) \big( s^2 - 3s + 2 \big) = \frac{1}{s-3} \\
\Rightarrow \quad & Y(s) = \frac{1}{(s-3)(s^2 - 3s + 2)}
\end{aligned}Steg 6: Omformulerer uttrykket for $Y(s)$ slik at vi kan bruke tabellen for å finne $y(t)$. Her må vi dele opp brøken ved hjelp av delbrøksoppspaltning og derfor må vi faktorisere nevneren:
\begin{aligned}
& s^2 - 3s + 2 = 0 \\
\Rightarrow \quad s & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} \\
\Rightarrow \quad s & = \frac{3-1}{2} = 1 \quad \textnormal{ eller } \quad s = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\
\Rightarrow \quad & (s-3)(s^2 - 3s + 2) = (s-3)(s-1)(s-2)
\end{aligned}Delbrøksoppspaltning:
\begin{aligned}
& \frac{1}{(s-3)(s^2 - 3s + 2)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s - 1} + \frac{C}{s - 2} \qquad | \cdot (s-3)(s-1)(s-2) \\
\Rightarrow \quad & 1 = A(s-1)(s-2) + B(s-3)(s-2) + C(s-3)(s-1) \\
\Rightarrow \quad & \left\{ \begin{array}{lll}
\textnormal{Hvis } s = 1: \quad 1 = B(1-3)(1-2) & \Rightarrow 1 = 2B & \Rightarrow \quad B = \frac{1}{2} \\
\textnormal{Hvis } s = 2: \quad 1 = C(2-3)(2-1) & \Rightarrow 1 = -C & \Rightarrow \quad C = -1 \\
\textnormal{Hvis } s = 3: \quad 1 = A(3-1)(3-2) & \Rightarrow 1 = 2A & \Rightarrow \quad A = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \quad & \frac{1}{(s-3)(s^2 - 3s + 2)} = \frac{\frac{1}{2}}{s - 3} + \frac{\frac{1}{2}}{s - 1} - \frac{1}{s - 2}
\end{aligned}Steg 7: Finn den inverse Laplace transformasjonen av ligningen:
Y(s) = \frac{\frac{1}{2}}{s - 3} + \frac{\frac{1}{2}}{s - 1} - \frac{1}{s - 2}\Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} \big(Y(s)\big) = \frac{1}{2} \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-3} \right) + \frac{1}{2} \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-1} \right) - \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s-2} \right)Bruker linje 4 i tabellen for å finne $y$:
y(t) = \frac{1}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - e^{2t}Steg 8: Vi kan sjekke svaret ved å derivere og sette inn i den opprinnelige ligningen:
\begin{aligned}
\textnormal{Deriverer }y: \quad & y' = \frac{3}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - 2 e^{2t} \\
& y'' = \frac{9}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - 4 e^{2t} \\
\textnormal{Setter inn}: \quad & y'' - 3y' + 2y \\
& = \left( \frac{1}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - e^{2t} \right)
- 3 \left( \frac{3}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - 2 e^{2t} \right)
+ 2 \left(\frac{9}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - 4 e^{2t} \right) \\
& = \frac{1}{2} e^{3t} + \frac{1}{2} e^t - e^{2t}
- \frac{9}{2} e^{3t} - \frac{3}{2} e^t +6 e^{2t}
+ 9 e^{3t} + e^t - 8 e^{2t} \\
& = e^{3t} \qquad \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker } y(0): \quad & y(0) = \frac{1}{2} e^{3 \cdot 0} + \frac{1}{2} e^0 - e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0 \qquad \textnormal{ok} \\
\textnormal{Sjekker } y'(0): \quad & y'(0) = \frac{3}{2} e^{3 \cdot 0} + \frac{1}{2} e^0 - 2 e^{2 \cdot 0} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2 = 0 \qquad \textnormal{ok}
\end{aligned}