Dette er en kjempekul egenskap som gjør at vi kan løse lineære differensialligninger med Laplace transformasjon:
\mathcal{L}\big(f'(\textcolor{blue}{t})\big) = \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t})\big) - f(0)+ Hvorfor er $\mathcal{L}\big(f'(t)\big) = s \mathcal{L}\big(f(t)\big) – f(0)$?
+ Kort video
Vi begynner med Laplace transformasjonen:
F(\textcolor{red}{s}) = \mathcal{L}(f(\textcolor{blue}{t})) = \int_0^{\infty} e^{-\textcolor{red}{s}\textcolor{blue}{t}} f(\textcolor{blue}{t}) \; d\textcolor{blue}{t}Hvis vi bruker Laplace-transformasjonen på den deriverte, får vi:
\mathcal{L}(f'(\textcolor{blue}{t})) = \int_0^{\infty} e^{-\textcolor{red}{s}\textcolor{blue}{t}} f'(\textcolor{blue}{t}) \; d\textcolor{blue}{t}Vanligvis når vi skal integrere et produkt av to funksjoner og den ene blir enklere hvis den deriveres, bruker vi delvis integrasjon. Så da gjør vi det her også:
u = e^{-st} \\
v' = f'(t)$\Rightarrow$
u' = -s e^{-st} \\
v = f(t)Vær oppmerksom når du setter inn i formelen for delvis integrasjon slik at fortegnene blir riktig:
\begin{aligned}
\textnormal{Formel: } \int_a^b u v' dt & = [uv]_a^b - \int_a^b u'v \; dt \\
\mathcal{L}(f'(\textcolor{blue}{t})) = \int_0^{\infty} e^{-\textcolor{red}{s}\textcolor{blue}{t}} f'(\textcolor{blue}{t}) \; d\textcolor{blue}{t} & = \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (-se^{-st}) f(t) \; dt
\end{aligned}Vi tar en titt på de to leddene hver for seg før vi setter dem sammen.
Integralet er «uegentlig» siden øvre grense er uendelig. Derfor må vi se på grenseverdien:
\begin{aligned}
\left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty}
& = \lim_{L \to \infty} \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^L
&& \textnormal{Setter inn grensene} \\
\Rightarrow \quad \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty}
& = \lim_{L \to \infty} e^{-sL} f(L) - e^{-s \cdot 0} f(0)
&& \textnormal{Når } L\to \infty\textnormal{, må }e^{-sL} \to 0 \\
\Rightarrow \quad \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty}
& = - e^{-s \cdot 0} f(0)
&& \textnormal{Bruker at } e^0 = 1 \\
\Rightarrow \quad \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty}
& = - f(0)
\end{aligned}I det andre leddet kan vi sette $-s$ utenfor integraltegnet fordi vi integrerer med hensyn på $t$:
- \int_0^{\infty} (-se^{-st}) f(t) \; dt = s \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \; dt = s \mathcal{L}\Big(f(t) \Big)Her dukket det opp noe kjent, nemlig Laplace transformasjonen til $f(t)$.
Nå kan vi sette sammen de to leddene:
\begin{aligned}
\mathcal{L}(f'(\textcolor{blue}{t})) & = \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (-se^{-st}) f(t) \; dt \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}(f'(\textcolor{blue}{t})) & = - f(0) + s \mathcal{L}\Big(f(t) \Big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L}(f'(\textcolor{blue}{t})) & = - f(0) + s F(s)\\
\end{aligned}Og, vips, har vi vist hvorfor vi kan forenkle uttrykket for Laplace transformasjonen til den deriverte.
+ Hva blir Laplace transformasjonen til den dobbelt deriverte?
Når vi skal finne Laplace transformasjonen til den dobbelt deriverte, tar vi utgangspunkt i formelen for Laplace transformasjonen til $f'(t)$:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big(f'(\textcolor{blue}{t})\big) & = \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t})\big)- f(0) && \textnormal{Setter inn} f''(t) \textnormal{ i stedet for } f'(t) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f'(\textcolor{blue}{t})\big) - f'(0) && \textnormal{Setter inn uttrykket for } \mathcal{L} \big( f'(t) \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s} \left( \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t})\big) - f(0) \right) - f'(0) && \textnormal{Rydder} \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s}^2 \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t}) \big) - \textcolor{red}{s} f(0) - f'(0)
\end{aligned}+ Hva blir Laplace transformasjonen til den trippel deriverte?
Når vi skal finne Laplace transformasjonen til den trippel deriverte, tar vi igjen utgangspunkt i formelen for Laplace transformasjonen til $f'(t)$:
\begin{aligned}
\mathcal{L}\big(f'(\textcolor{blue}{t})\big) & = \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t})\big) - f(0) && \textnormal{Setter inn} f'''(t) \textnormal{ i stedet for } f'(t) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f'''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s} \mathcal{L}\big(f''(\textcolor{blue}{t})\big) - f''(0) && \textnormal{Setter inn uttrykket for } \mathcal{L} \big( f''(t) \big) \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f'''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s} \Big( \textcolor{red}{s}^2 \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t}) \big) - \textcolor{red}{s} f(0) - f'(0) \Big) - f''(0) && \textnormal{Rydder} \\
\Rightarrow \quad \mathcal{L} \big( f'''(\textcolor{blue}{t}) \big) & = \textcolor{red}{s}^3 \mathcal{L}\big(f(\textcolor{blue}{t})\big) - \textcolor{red}{s}^2 f(0) - \textcolor{red}{s} f'(0) - f''(0)
\end{aligned}