Steg 1: Finn kritiske punkt:
f_x(x,y) = 0 \\ [0.5em] f_y(x,y) = 0
Steg 2: Klassifiser kritiske punkt:
\triangle = \det(H) = \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|Dersom $(a,b)$ er et stasjonært punkt:
- Når $\triangle > 0$ og $f_{xx}(a,b) < 0$ er $(a,b)$ et lokalt maksimum
- Når $\triangle > 0$ og $f_{xx}(a,b) > 0$ er $(a,b)$ et lokalt minimum
- Når $\triangle < 0$ er $(a,b)$ et sadelpunkt
- Når $\triangle = 0$ gir testen ingen resultater
+ Hvordan finner vi kritiske punkt?
Kritiske punkt finner vi der tangentplanet er horisontalt. Derfor setter vi begge de partielt deriverte lik null:
f_x(x,y) = 0 \\ [0.5em] f_y(x,y) = 0
Punkt $(x,y) = (a,b)$ som gir at begge de partielt deriverte er null, er kritiske punkt.
Punkt der begge de partielt deriverte er lik null, kalles også stasjonære punkt. Vi har tre typer stasjonære punkt:
1. Minimum (laveste punkt i alle retninger)
2. Maksimum (høyeste punkt i alle retninger)
3. Saldepunkt (laveste punkt i noen retninger og høyeste punkt i andre retninger)
I tillegg til stasjonære punkt, kan vi finne kritiske punkt også når minst en derivert ikke eksisterer og langs randen.
+ Hvordan klassifiserer vi kritiske punkt?
For å klassifisere de kritiske punktene, bruker vi Hesse-matrisen som består av de andre ordens partielt deriverte:
H = \left( \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right)Siden $f_{xy} = f_{yx}$, er Hesse-matrisen symmetrisk. En symmetrisk matrise av reelle elementer har reelle egenverdier.
- En positiv egenverdi betyr at funksjonen øker i retningen til egenvektoren
- En negativ egenverdi betyr at funksjonen minker i retningen til egenvektoren
Dermed har vi tre kombinasjoner:
- To positive egenverdier gir et bunnpunkt
- To negative egenverdier gir et toppunkt
- En positiv og en negativ egenverdi gir et sadelpunkt
For å klassifisere de stasjonære punktene bruker vi derfor determinanten til Hessematrisen:
\triangle = \det(H) = \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|Dersom $(a,b)$ er et stasjonært punkt:
- Når $\triangle > 0$ har de to egenverdiene samme fortegn
- dersom $f_{xx}(a,b) < 0$ er $(a,b)$ et lokalt maksimum
- dersom $f_{xx}(a,b) > 0$ er $(a,b)$ et lokalt minimum
- Når $\triangle < 0$ har de to egenverdiene forskjellig fortegn
- Når $\triangle = 0$ gir testen ingen resultater
+ Eksempel 1: $f(x,y) = x + y$
Første ordens partielt deriverte:
f_x = 1 \\ f_y = 1
Siden disse aldri kan bli null, har $f(x,y)$ ingen kritiske punkt.
+ Eksempel 2: $f(x,y) = 12 \:-\: x^2 \:-\: 2y^2$
+ Steg 1: Finn kritiske punkt
Første ordens partielt deriverte:
f_x = -2x \\ f_y = -4y
Setter begge lik null:
-2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ -4y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
Vips, vet vi har et kritisk punkt, $(x,y) = (0,0)$.
+ Steg 2: Klassifiser kritisk punkt
Andre ordens partielt deriverte:
f_{xx} = -2 \\ f_{yy} = -4 \\ f_{xy} = f_{yx} = 0Determinanten til Hesse-matrisen:
\triangle = \det(H)
= \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|
= \left| \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{array} \right| = 8 > 0
Siden $\triangle > 0$ og $f_{xx} = -2 < 0$, er $(x,y) = (0,0)$ et maksimum.
+ For moro skyld kan vi plotte $f(x,y)$
Når vi plotter grafen, kan vi se om $f(x,y)$ har et maksimum i $(x,y) = (0,0)$:
3D-plott:
Nivåkurver:
Både 3D-plottet og nivåkurvene viser at grafen har lavere verdi i alle retninger av $(x,y) = (0,0)$.
+ Eksempel 3: $f(x,y) = x^2 \:-\: y^2$
+ Steg 1: Finn kritiske punkt
Første ordens partielt deriverte:
f_x = 2x \\ f_y = -2y
Setter begge lik null:
2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ -2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
Vips, vet vi har et kritisk punkt, $(x,y) = (0,0)$.
+ Steg 2: Klassifiser kritisk punkt
Andre ordens partielt deriverte:
f_{xx} = 2 \\ f_{yy} = -2 \\ f_{xy} = f_{yx} = 0Determinanten til Hesse-matrisen:
\triangle = \det(H)
= \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|
= \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right| = -4 < 0
Siden $\triangle < 0$ er $(x,y) = (0,0)$ et sadelpunkt.
+ For moro skyld kan vi plotte $f(x,y)$
Når vi plotter grafen, kan vi se om $f(x,y)$ har et sadelpunkt i $(x,y) = (0,0)$:
3D-plott:
Nivåkurver:
Både 3D-plottet og nivåkurvene viser at grafen har både høyere verdier i noen retninger og lavere verdier i andre retninger fra punktet $(x,y) = (0,0)$.
+ Eksempel 4: $f(x,y) = 3x^2 + 2y^3 \:-\: 6xy$
+ Steg 1: Finn kritiske punkt
Første ordens partielt deriverte:
f_x = 6x - 6y \\ f_y = 6y^2 - 6x
Setter begge lik null:
\begin{align*}
6x - 6y = 0 & \quad \Rightarrow \quad x = y \\
6y^2 - 6x = 0 & \quad \Rightarrow \quad 6y^2 - 6y = 0 \quad \Rightarrow \quad 6y(y - 1) = 0
\end{align*}Første ligning gir at $x = y$ som vi kan sette inn i den andre. Da får vi at enten er $y = 0$ eller så er $y = 1$.
Vips, vet vi har to kritiske punkt, $(x,y) = (0,0)$ og $(x,y) = (1,1)$.
+ Steg 2: Klassifiser kritisk punkt
Andre ordens partielt deriverte:
\begin{align*}
&f_{xx} = 6 \\ &f_{yy} = 12y \\ & f_{xy} = f_{yx} = -6
\end{align*}Determinanten til Hesse-matrisen:
\triangle = \det(H)
= \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|
= \left| \begin{array}{cc} 6 & -6 \\ -6 & 12y \end{array} \right| = 72y - 36 > 0
- $(x,y) = (0,0)$ gir $\triangle = -36 < 0$. Derfor er $(0,0)$ et sadelpunkt.
- $(x,y) = (1,1)$ gir $\triangle = 72 – 36 = 36 > 0$. Derfor er $(1,1)$ et minimum.
+ For moro skyld kan vi plotte $f(x,y)$
Når vi plotter grafen, kan vi se om $f(x,y)$ har et sadelpunkt i $(0,0)$ og et minimum i $(1,1)$:
3D-plott:
Nivåkurver:
Både 3D-plottet og nivåkurvene viser at grafen har et sadelpunkt i $(0,0)$ og et minimum i $(1,1)$.
+ Eksempel 5: $f(x,y) = x^2 \:-\: 2x + 2y^2 \:-\: 8y + 3$
+ Steg 1: Finn kritiske punkt
Første ordens partielt deriverte:
f_x = 2x - 2 \\ f_y = 4y - 8
Setter begge lik null:
\begin{align*}
2x - 2 = 0 & \quad \Rightarrow \quad x = 1 \\
4y - 8 = 0 & \quad \Rightarrow \quad y = 2
\end{align*}Vips, vet vi har et kritisk punkt, $(x,y) = (1,2)$.
+ Steg 2: Klassifiser kritisk punkt
Andre ordens partielt deriverte:
\begin{align*}
&f_{xx} = 2 \\ &f_{yy} = 4 \\ & f_{xy} = f_{yx} = 0
\end{align*}Determinanten til Hesse-matrisen:
\triangle = \det(H)
= \left| \begin{array}{cc} f_{xx} & f_{yx} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{array} \right|
= \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right| = 8 > 0
Siden $\triangle > 0$ og $f_{xx} > 0$, er $(x,y) = (1,2)$ et minimum.
+ For moro skyld kan vi plotte $f(x,y)$
Når vi plotter grafen, kan vi se om $f(x,y)$ har et minimum i $(x,y) = (1,2)$:
3D-plott:
Nivåkurver:
Både 3D-plottet og nivåkurvene viser at grafen har et minimum i $(1,2)$.