i er en imaginær enhet og er lik roten av -1:
\textcolor{red}{i} = \textcolor{red}{\sqrt{-1}} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1+ Eksempel 1: $\sqrt{-9}$
Skriv følgende tall med $i$ i stedet for roten av et negativt tall:
\sqrt{-9}Ifølge potensreglene er $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ og $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Derfor:
\sqrt{-9} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{9} = 3iOg, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel 2: $z^2 + 1 = 0$
Løs andregradsligningen:
\begin{aligned}
& z^2 + 1 = 0 & \quad | -1 \\
\Rightarrow \quad & z^2 = -1 \\
\Rightarrow \quad & z = \pm \textcolor{red}{\sqrt{-1}} \\
\Rightarrow \quad & z = \pm \: \textcolor{red}{i}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel 3: $z^2 – 2z + 2 = 0$
Løs andregradsligningen:
z^2 - 2z + 2 = 0
Bruker andregradsformelen:
\begin{aligned}
& z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\
\Rightarrow \quad & z = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\
\Rightarrow \quad & z = \frac{2 \pm 2 \textcolor{red}{\sqrt{-1}}}{2} \\
\Rightarrow \quad & z = \frac{2 \pm 2\textcolor{red}{i}}{2} \\
\Rightarrow \quad & z = 1 \pm \textcolor{red}{i}
\end{aligned}Sjekk og husk at $i^2 = -1$:
(1+i)^2 - 2(1+i) + 2 = 1^2 + 2i \textcolor{blue}{- i^2} - 2 - 2i + 2 = 0 \\
(1-i)^2 - 2(1-i) + 2 = 1^2 - 2i \textcolor{blue}{- i^2} - 2 + 2i + 2 = 0Og, vips, er vi ferdige!