Komplekse tall kan tegnes i det komplekse plan:
Komplekst tall i 1. kvadrant
Komplekst tall i 2. kvadrant
Komplekst tall i 3. kvadrant
Komplekst tall i 4. kvadrant
Fire komplekse tall
Kun det komplekse plan
z = x + iy
- $\textnormal{Re}(z) = x$ måles langs den reelle (horisontale) aksen
- $\textnormal{Im}(z) = y$ måles langs den imaginære (vertikale) aksen
z = re^{í \theta} - $|z| = r$ er avstanden fra origo
- $\textnormal{arg}(z) = \theta$ er vinkelen i radianer mellom den positive, reelle aksen og $z$.
+ Eksempel: $z = -3 + 4i$
Gitt et kompleks tall på kartesisk form:
z = \textcolor{red}{-3} + \textcolor{blue}{4}i \\
\Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}
x = Re(z) = -3 \\
y = Im(z) = 4
\end{array} \right.$z$ ligger i 2. kvadrant med -3 på den reelle aksen og 4 på den imaginære aksen.
+ Eksempel: $z = 2 e^{\pi/3 i}$
Gitt et kompleks tall på polar form:
z = \textcolor{red}{2} e^{\textcolor{blue}{\frac{\pi}{3}}i} \\
\Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}
r = |z| = 2 \\
\theta = arg(z) = \frac{\pi}{3}
\end{array} \right.$z$ ligger i 1. kvadrant i en avstand 2 fra origo og en vinkel $\frac{\pi}{3}$ mellom tallet og den positive, reelle aksen.
+ Eksempel: $|z| = 2$
Gitt ligningen:
|z| = 2
Løsningen er alle komplekse tall som ligger 2 i avstand fra origo.
+ Noen eksempler
\begin{array}{rlcccccl}
z = \textcolor{red}{-2}: \quad & |\textcolor{red}{z}| = & |\textcolor{red}{-2}| & = & \sqrt{(-2)^2} & = 2 \\
z = \textcolor{blue}{2}: \quad & |\textcolor{blue}{z}| = & |\textcolor{blue}{2}| & = & \sqrt{2^2} & = 2 \\
z = \textcolor{green}{2i}: \quad & |\textcolor{green}{z}| = & |\textcolor{green}{2i}| & = & \sqrt{2^2} & = 2 \\
z = \textcolor{purple}{-2i}: \quad & |\textcolor{purple}{z}| = & |\textcolor{purple}{-2i}| & = & \sqrt{(-2)^2} & = 2
\end{array}+ Løsning ved regning
Det enkleste er å tegne løsningen i det komplekse plan, men spesielt interesserte kan selvsagt regne på det. Ligningen for en sirkel med sentrum i $(x_0,y_0)$ og radius $r$ er gitt ved:
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2
Den kan vi sammenligne med vår ligning:
|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \\
\Rightarrow \qquad x^2 + y^2 = 2^2Hvis de skal være like, må $x_0 = y_0 = 0$ og $r = 2$. Dermed har vi en sirkel med radius 2 og sentrum i origo.
+ Eksempel: $|z| < 2$
Gitt ulikheten:
|z| < 2
Husk at $|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ og er lengden til $z$.
Løsningen er alle komplekse tall som ligger mindre enn 2 i avstand fra origo.
+ Eksempel: $|z-2| = 3$
Gitt ligningen:
|z-2| = 3
Husk at $|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ og er lengden til $z$. Derfor blir $|z-2|$ lengden til $z-2$.
Løsningen er alle komplekse tall som ligger 3 i avstand fra $z=2$.
+ Noen eksempler
\begin{array}{rlcccccl}
z = \textcolor{red}{-1}: \quad & |\textcolor{red}{z} - 2| = & |\textcolor{red}{(-1)}-2| & = & |-\!\!3| & = & \sqrt{(-3)^2} & = 3 \\
z = \textcolor{blue}{5}: \quad & |\textcolor{blue}{z} - 2| = & |\textcolor{blue}{5}-2| & = & |\;3\;| & = & \sqrt{3^2} & = 3 \\
z = \textcolor{green}{2+3i}: \quad & |\textcolor{green}{z} - 2| = & |\textcolor{green}{(2+3i)}-2| & = & |\;3i\;| & = & \sqrt{3^2} & = 3 \\
z = \textcolor{purple}{2-3i}: \quad & |\textcolor{purple}{z} - 2| = & |\textcolor{purple}{(2-3i)}-2| & = & |-\!\!3i| & = & \sqrt{(-3)^2} & = 3
\end{array}+ Løsning ved regning
Det enkleste er å tegne løsningen i det komplekse plan, men spesielt interesserte kan selvsagt regne på det. Ligningen for en sirkel med sentrum i $(x_0,y_0)$ og radius $r$ er gitt ved:
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2
Den kan vi sammenligne med vår ligning:
|z-2| = |x + iy - 2| = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 3 \\
\Rightarrow \qquad (x-2)^2 + y^2 = 3^2Hvis de skal være like, må $x_0 = 2$, $y_0 = 0$ og $r = 3$. Dermed har vi en sirkel med radius 3 og sentrum i (2,0).
+ Eksempel: $|z-2| > 3$
Gitt ulikheten:
|z-2| < 3
Husk at $|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ og er lengden til $z$. Derfor blir $|z-2|$ lengden til $z-2$ og den må være større enn 3.
Løsningen er alle komplekse tall som ligger mer enn 3 i avstand fra $z=2$.
+ Eksempel: $|z-4| = |z+2i|$
Gitt ligningen:
|z-4| = |z+2i|
Husk at $|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2}$ og er lengden til $z$. Derfor blir $|z-4|$ lengden til $z-4$ og $|z+2i|$ blir lengden til $z+2i$.
Løsningen er alle komplekse tall som ligger like langt fra $z=4$ som $z=-2i$.
Eksempler:
$|z-4| = 2.5$, $|z+2i| = 2.5$
$|z-4| = 3$, $|z+2i| = 3$
$|z-4| = 4$, $|z+2i| = 4$
$|z-4| = 5$, $|z+2i| = 5$
$|z-4| = |z+2i|$
+ Noen eksempler
Tallet $z = \textcolor{blue}{1.5}$ ligger 2.5 i avstand fra både $z=4$ og $z=-2i$:
\begin{array}{rlccccccl}
|\textcolor{blue}{z} - 4| & = & |\textcolor{blue}{1.5}-4| & = & |-2.5| & = & \sqrt{2.5^2} & = 2.5 \\
|\textcolor{blue}{z} + 2i| & = & |\textcolor{blue}{1.5}+2i| & = & |1.5 + 2i| & = & \sqrt{1.5^2 + 2^2} & = 2.5
\end{array}Tallet $z = \textcolor{red}{3i}$ ligger 5 i avstand fra både $z=4$ og $z=-2i$:
\begin{array}{rlccccccl}
|\textcolor{red}{z} - 4| & = & |\textcolor{red}{3i}-4| & = & |-\!\!4 + 2i| & = & \sqrt{(-4)^2 + 3^2} & = 5 \\
|\textcolor{red}{z} + 2i| & = & |\textcolor{red}{3i}+2i| & = & |5i| & = & \sqrt{5^2} & = 5
\end{array}+ Løsning ved regning
Det enkleste er å tegne løsningen i det komplekse plan, men spesielt interesserte kan selvsagt regne på det:
\begin{array}{rrcll}
& |z-4| &=& |z + 2i| & \textnormal{Setter } z = x + iy \\
\Rightarrow & |x + iy - 4| &=& |x + iy + 2i| \quad & \textnormal{Bruker } |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\Rightarrow & \sqrt{(x-4)^2 + y^2} &=& \sqrt{x^2 + (y+2)^2} & \textnormal{Begge sider opphøyd i andre} \\
\Rightarrow & (x-4)^2 + y^2 &=& x^2 + (y+2)^2 \\
\Rightarrow & \quad x^2 - 8x + 16 + y^2 &=& x^2 + y^2 + 4y + 4 \quad & | - x^2 - y^2 - 4 \\
\Rightarrow & -8x + 12 &=& 4y & | \cdot \frac{1}{4} \\
\Rightarrow & -2x + 3 &=& y
\end{array}Alle punkt på linjen $y = -2x + 3$ ligger like langt fra $z=4$ som $z=-2i$.