| $\mathbf{f(x)}$ | $\mathbf{F(x) = \int f(x) dx}$ |
|---|---|
| $k$ | $kx + C$ |
| $x^n$ | $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$ | $\ln(x) + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ |
Her er noen flere regler:
| $\mathbf{f(x)}$ | $\mathbf{F(x) = \int f(x) dx}$ | |
|---|---|---|
| $u(x) + v(x)$ | $\int u(x) dx + \int v(x) dx$ | Summer av funksjoner kan integreres ledd for ledd |
| $ku(x)$ | $k \int u(x) dx$ | Koeffisienter kan settes foran |
| $u(x) v’(x)$ | $u(x) v(x) – \int u’(x) v(x) dx$ | Delvis integrasjon |
| $f(u(x)) u’(x)$ | $\int f(u) du$ | Substitusjon |
| $\frac{1}{x^2 + 1}$ | $\tan^{-1}x + C$ | Trigonometrisk substitusjon |
| $\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$ | $\sin^{-1}x + C$ | Trigonometrisk substitusjon |
+ Eksempel: $\int x^8 dx$
\int x^8 dx
Integrerer ved å bruke formelen:
\begin{aligned}
\int x^{\textcolor{red}{n}} dx & = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C \\
\Rightarrow \quad \int x^{\textcolor{red}{8}} dx & = \frac{1}{\textcolor{red}{8} + 1} x^{\textcolor{red}{8} + 1} + C = \frac{1}{9} x^9 + C\\
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å derivere:
\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{9} \textcolor{red}{x^9} + \textcolor{blue}{C} \right) = \frac{1}{9} \cdot \textcolor{red}{9x^{9-1}} + \textcolor{blue}{0} = x^8Siden den deriverte til svaret er lik det vi opprinnelige skulle integrere, vet vi at vi har funnet rett svar.
+ Eksempel: $\int 18 x^8 dx$
\int 18x^8 dx
Setter først koeffisienten utenfor integrasjonstegnet:
\int 18x^8 dx = 18 \int x^8 dx
Integrerer ved å bruke formelen:
\begin{aligned}
\int x^{\textcolor{red}{n}} dx & = \frac{1}{\textcolor{red}{n} + 1} x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C \\
\Rightarrow \quad \int 18x^{\textcolor{red}{8}} dx & = 18 \cdot \frac{1}{\textcolor{red}{8} + 1} x^{\textcolor{red}{8} + 1} + C = 2 x^9 + C\\
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å derivere:
\frac{d}{dx} \left(2 \textcolor{red}{x^9} + \textcolor{blue}{C} \right) = 2 \cdot \textcolor{red}{9x^{9-1}} + \textcolor{blue}{0} = 18x^8Siden den deriverte til svaret er lik det vi opprinnelige skulle integrere, vet vi at vi har funnet rett svar.
+ Eksempel: $\int (4 + x + x^2) dx$
\int (4 + x + x^2) dx
Integrerer ledd for ledd:
\begin{aligned}
\int (4 + x + x^2) dx & = \textcolor{red}{\int 4 \; dx} + \textcolor{blue}{\int x \; dx} + \textcolor{green}{\int x^2 \; dx} \\
\int (4 + x + x^2) dx & = \textcolor{red}{4x} + \textcolor{blue}{\frac{1}{2}x^2} + \textcolor{green}{\frac{1}{3}x^3} + C
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å derivere:
\frac{d}{dx} \left(\textcolor{red}{4x} + \textcolor{blue}{\frac{1}{2}x^2} + \textcolor{green}{\frac{1}{3}x^3} + C\right)
= \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{\frac{1}{2} \cdot 2x} + \textcolor{green}{\frac{1}{3} \cdot 3 x^2} + 0
= \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{x^2}Siden den deriverte til svaret er lik det vi opprinnelige skulle integrere, vet vi at vi har funnet rett svar.
+ Eksempel: $\int (3x^2 + \cos(x)) dx$
\int \Big(3x^2 + \cos(x) \Big) dx
Integrerer ledd for ledd:
\begin{aligned}
\int \Big(3x^2 + \cos(x) \Big) dx & = 3 \textcolor{red}{\int x^2 \; dx} + \textcolor{blue}{\int \cos(x) \;dx} \\
\Rightarrow \quad \int \Big(3x^2 + \cos(x) \Big) dx & = 3 \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{3}x^2} + \textcolor{blue}{\sin(x)} + C \\
\Rightarrow \quad \int \Big(3x^2 + \cos(x) \Big) dx & = x^2 + \sin(x) + C
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å derivere:
\frac{d}{dx} \left(\textcolor{red}{x^2} + \textcolor{blue}{\sin(x)} + \textcolor{green}{C} \right) = \textcolor{red}{2x} + \textcolor{blue}{\cos(x)} + \textcolor{green}{0}Siden den deriverte til svaret er lik det vi opprinnelige skulle integrere, vet vi at vi har funnet rett svar.