Vi har mange måter å løse integraler på:
\int I(x) \; dx
Du vil bli flinkere til å velge metode når du har løst mange integraler, men her er litt hjelp på veien. Begynn øverst og svar ja/nei til du kommer til et endepunkt (typisk en boks til høyre). Da kan det tenkes du må starte øverst igjen med ditt nye uttrykk.
Beslutningstre
| Er integranden en funksjon som står i formelsamlingen? Eller kan du bruke algebra til å omforme integranden til noe som står i formelsamlingen? (Husk potensreglene f.eks. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ og $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$) |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Formelsamlingen
|
||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er integranden en sum av to (eller flere) funksjoner? $I(x) = f(x) + g(x)$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Linearitet Integrer hvert ledd for seg: $\int \Big( f(x) + g(x) \Big) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er integranden en konstant multiplisert med en funksjon? $I(x) = kf(x)$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Linearitet Sett koeffisienten utenfor: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Finner du både en funksjon og dens deriverte i integranden? $I(x) = f(u(x)) u’(x) $ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Substitusjon $\int f(u(x)) u’(x) dx = \int f(u) du$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er integranden en funksjon multiplisert med en annen funksjon? $I(x) = f(x) g(x)$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Delvis integrasjon $\int u’ v \;dx = u v \;- \int u v’ \; dx$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er integranden en brøk? $I(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Nei} \quad}$ | Hvis du prøver å løse et integral som er gitt første året på universitetet eller tidligere, er det sannsynligvis noe du har oversett.
Alternativt kan du bruke f.eks. numeriske metoder for å løse integralet. |
||||||||||||||
| Ja $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er nevneren derivert lik telleren? $I(x) = \frac{u’(x)}{u(x)}$ (evt. med unntak av en koeffisient) |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Substitusjon Bruk nevneren som $u(x)$ og substituer: $\int \frac{u’(x)}{u(x)} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er både teller og nevner et polynom? $I(x) = \frac{Q(x)}{P(x)}$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Nei} \quad}$ | Hvis du kan finne en $u$ slik at nevneren får formen $\sqrt{1-u^2}$, kan du bruke trigonometrisk substitusjon med sinus invers. Hvis ikke, er det sannsynligvis noe du har oversett. |
||||||||||||||
| Ja $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er telleren et polynom med høyere eller lik grad enn nevneren? | $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Polynomdivisjon Eksempel: $I(x) = \frac{x^3}{x-1} = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1}$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Kan du faktorisere nevneren? $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \cdots $ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Delbrøksoppspaltning Eksempel: $I(x) = \frac{x-1}{x^2 (x + 1)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x+1}$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er telleren kun et tall og nevneren et førstegradspolynom? $I(x) = \frac{k}{ax + b}$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Substitusjon Sett $u = ax + b$: $\int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{a} \ln |u| + C$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Er telleren kun et tall og nevneren et andregradspolynom? $I(x) = \frac{k}{ax^2 + bx + c}$ |
$\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ | Trigonometrisk substitusjon Finn en $u(x)$ slik at du kan skrive nevneren på formen $u^2 + 1$ slik at du kan bruke: $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + C$ |
||||||||||||||
| Nei $\downarrow $ | ||||||||||||||||
| Spør om hjelp hvis du ikke allerede har gjort det. 🙂 |
+ Hva hvis rekken alternerer?
Hvis rekken alternerer, kan den skrives på formen:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_nder alle $a_n > 0$ eller $a_n < 0$.
Da bruker du først Leibniz’ testen:
- Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
- Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty} a_n = 0konvergerer rekken.
Hvis Leibniz’ testen ikke fører frem, bruker du beslutningstreet der du kun ser på $|a_n|$.