Puh… det var litt av en munnfull. Heldigvis er de enkle å løse.
En sånn ligning skrives på formen formen:
ay' + by = 0
Differensialligningen er:
- første orden fordi $y$ bare er derivert en gang
- lineær fordi den ikke har $y$ multilpisert med $y$ eller deriverte av $y$
- homogen fordi den ikke har noen ledd uten $y$
- konstante koeffisienter fordi $a$ og $b$ er konstanter
+ Løsning av $ay’ + by = 0$
Alle differensialligninger på formen
ay’ + by= 0
har generell løsning
y(x) = Ce^{\lambda x}der $\lambda = – \frac{b}{a}$ er en konstant.
For å bestemme $C$ trenger vi en startbetingelse, f.eks. $y(0) = A$.
+ Hvordan finner vi løsningen til $ay’ + by = 0$
Hvis vi skal løse
ay’ + by= 0
kan vi bruke formelen for generell løsning
y(x) = Ce^{\lambda x}der $\lambda = -b/a$.
Eller vi kan bruke at differensialligningen er separabel:
Steg 1: Skriv $y'(x) = \frac{dy}{dx}$
a \frac{dy}{dx} + by = 0Steg 2: Separer
\begin{array}{rrcll}
& a \frac{dy}{dx} + by &=& 0 \qquad & | - by \\
\Rightarrow & a \frac{dy}{dx} &=& - by & | \cdot dx \\
\Rightarrow & a \; dy &=& - by \; dx & | \cdot \frac{1}{ay} \\
\Rightarrow & \frac{1}{y} dy &=& - \frac{b}{a} dx
\end{array}Steg 3: Integrerer begge sider
\begin{align*}
& \int \frac{1}{y} dy = - \int \frac{b}{a} dx \\
\Rightarrow \quad & \ln y = - \frac{b}{a} x + C_0 \\
\Rightarrow \quad & y = e^{-\frac{b}{a}x + C_0} \\
\Rightarrow \quad & y = e^{-\frac{b}{a}x} e^{C_0} \\
\Rightarrow \quad & y = C e^{-\frac{b}{a}x}
\end{align*} Her har vi brukt noen potensregler og innført $C = e^{C_0}$ siden det bare er en konstant.
For å bestemme $C$ trenger vi en startbetingelse, f.eks. $y(0) = A$.
+ Eksempel: $3y’ + 4y = 0$
Løs differensialligningen:
\textcolor{red}{3}y’ + \textcolor{blue}{4}y= 0har generell løsning
y(x) = Ce^{- \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3}} x}Merk at $y$ går mot null når $x$ går mot uendelig.
+ Eksempel: $3y’ – 4y = 0$
Løs differensialligningen:
\textcolor{red}{3}y’ \textcolor{blue}{- 4}y= 0har generell løsning
\begin{align*}
& y(x) = Ce^{- \frac{\textcolor{blue}{-4}}{\textcolor{red}{3}} x} \\
\Rightarrow \quad & y(x) = Ce^{\frac{4}{3} x}
\end{align*}Merk at $y$ går mot uendelig når $x$ går mot uendelig.
+ Eksempel: $3y’ = 0$
Løs differensialligningen:
\textcolor{red}{3}y’ = 0har generell løsning
\begin{align*}
& y(x) = Ce^{- \frac{\textcolor{blue}{0}}{\textcolor{red}{3}} x} \\
\Rightarrow \quad & y(x) = C
\end{align*}som er konstant.
+ Eksempel: $3y’ – 4y = 0$ når $y(0) = 5$
Løs differensialligningen:
\textcolor{red}{3}y’ \textcolor{blue}{- 4}y= 0har generell løsning
\begin{align*}
& y(x) = Ce^{- \frac{\textcolor{blue}{-4}}{\textcolor{red}{3}} x} \\
\Rightarrow \quad & y(x) = Ce^{\frac{4}{3} x}
\end{align*}$y(0) = 5 er en startbetingelse som gjør at vi kan bestemme $C$:
\begin{align*}
y(\textcolor{red}{0}) &= Ce^{\frac{4}{3} \cdot \textcolor{red}{0}} \\
\Rightarrow \quad 5 &= C
\end{align*}Og, vips, har vi løsningen:
y(x) = 5e^{\frac{4}{3} x} + Eksempel: Vis at $y(x) = 5 e^{\frac{4}{3}x}$ er løsningen på $3y’ – 4y = 0$ når $y(0) = 5$
Vis at $y(x) = 5 e^{\frac{4}{3}x}$ er løsningen på $3y’ – 4y = 0$ når $y(0) = 5$.
Først deriverer vi $y(x)$ slik at vi kan sette inn i differensialligningen:
\begin{align*}
& y(x) = 5e^{\frac{4}{3}x} \\
\Rightarrow \quad & y'(x) = 5 \cdot \frac{4}{3} e^{\frac{4}{3}}
\end{align*}Setter inn i differensialligningen:
3\textcolor{red}{y’} - 4 \textcolor{blue}{y}
= 3 \cdot \left( \textcolor{red}{ 5 \cdot \frac{4}{3} e^{\frac{4}{3}x} } \right)
- 4 \cdot \left( \textcolor{blue}{ 5 e^{\frac{4}{3}x} } \right)
= 20 e^{\frac{4}{3}x} - 20 e^{\frac{4}{3}x} = 0Siden vi fikk null slik vi skulle på høyre side, tilfredsstiller løsningen ligningen.
Deretter sjekker vi startbetingelsen ved å sette $x = 0$:
y(0) = 5e^{\frac{4}{3} \cdot 0} = 5Og, vips, har vi sjekket at løsningen stemmer.