Når vi partielt deriverer, ser vi på andre variabler omtrent som en konstant:
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}Vi kan sette $(x,y) = (a,b)$ inn i uttrykket for å finne uttrykket for den partielt deriverte i det punktet:
\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(a,b)} \qquad \textnormal{ og } \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(a,b)}+ Sammenligning med vanlig derivasjon
Vanlig derivasjon
Den deriverte av en funksjon av en variabel er definert ved:
\frac{df}{dx} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}Partiell derivasjon
Når vi har en funksjon av flere variabler, må vi velge hvilken variabel vi vil derivere med hensyn på. Hvis vi velger å derivere med hensyn på $x$, får vi en definisjon som ligner veldig:
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x,y) - f(x,y)}{\triangle x}Merk:
- Den morsomme krøllete d’en ($\partial$) forteller at dette er partiell derivasjon og at $f$ er en funksjon av minst to variabler
- $y$ er urørt og behandles omtrent som en konstant under deriveringen
+ Stigningstall til tangenten
For en funksjon av en variabel, kan vi sette $x=a$ i uttrykket for den deriverte og få stigning stallet til tangenten i $x=a$:
f'(a) = \left. \frac{df}{dx} \right|_aFor en funksjon av to variabler, kan vi sette $(x,y) = (a,b)$ i uttrykket for den partielt deriverte med hensyn på $x$ og få stigningstallet til tangenten langs $y = b$:
f_x(a,b) = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(a,b)} Setter vi $(x,y) = (a,b)$ i uttrykket for den partielt deriverte med hensyn på $y$, får vi stigningstallet til tangenten langs $x = a$:
f_y(a,b) = \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(a,b)} + Hva er notasjonen for partiell derivasjon?
Den partielt deriverte til en funksjon kan skrives på mange måter:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)= \frac{\partial f}{\partial x} = D_xf(x,y) = D_1f(x,y)Eksempler:
\begin{aligned}
\frac{\partial }{\partial x} (x^2 + 3y^2) &= 2x \\
\frac{\partial }{\partial y} (x^2 + 3y^2) &= 6y \\
\frac{\partial }{\partial x} (4xy^2) &= 4y^2 \\
\frac{\partial }{\partial y} (4xy^2) &= 8xy
\end{aligned}+ Kan vi derivere en funksjon partielt flere ganger?
Vi kan partielt derivere samme funksjon så mange ganger vi ønsker og med hensyn på de variablene vi ønsker. Men to er vanligvis nok.
Derivert to ganger med hensyn på $x$:
\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}Derivert to ganger med hensyn på $y$:
\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}Derivert en gang med hensyn på $x$ og en gang med hensyn på $y$:
\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}Merk at rekkefølgen ikke har noe å si.
+ Eksempel 1: $f(x,y) = x + y$
De første ordens deriverte:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x + y) = 1 + 0 = 1 \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x + y) = 0 + 1 = 1 Andre ordens deriverte:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{blue}{1}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{red}{1}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{red}{1}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{blue}{1}) = 0 (Den siste trengte vi egentlig ikke regne ut fordi den er lik den nest siste.)
+ Eksempel 2: $f(x,y) = 12 \:-\: x^2 \:-\: 2y^2$
De første ordens deriverte:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (12 - x^2 - 2y^2) = 0 - 2x - 0 = -2x \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (12 - x^2 - 2y^2) = 0 - 0 - 4y = -4yAndre ordens deriverte:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{blue}{-2x}) = -2 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{red}{-4y}) = -4 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{red}{-4y}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{blue}{-2x}) = 0 (Den siste trengte vi egentlig ikke regne ut fordi den er lik den nest siste.)
+ Eksempel 3: $f(x,y) = x^2 \:-\: y^2$
De første ordens deriverte:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 - y^2) = 2x - 0 = 2x \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 - y^2) = 0 - 2y = -2yAndre ordens deriverte:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{blue}{2x}) = 2 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{red}{-2y}) = -2 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{red}{-2y}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{blue}{-2x}) = 0 (Den siste trengte vi egentlig ikke regne ut fordi den er lik den nest siste.)
+ Eksempel 4: $f(x,y) = 3x^2 + 2y^3 \:-\: 6xy$
De første ordens deriverte:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 2y^3 - 6xy) = 6x - 6y \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 2y^3 - 6xy) = 6y^2 - 6xAndre ordens deriverte:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{blue}{6x - 6y}) = 6 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{red}{6y^2 - 6x}) = 12y \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{red}{6y^2 - 6x}) = -6 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{blue}{6x - 6y}) = -6 (Den siste trengte vi egentlig ikke regne ut fordi den er lik den nest siste.)
+ Eksempel 5: $f(x,y) = x^2 \:-\: 2x + 2y^2 \:-\: 8y + 3$
De første ordens deriverte:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 - 2x + 2y^2 - 8y + 3) = 2x - 2 \\ [0.5em]
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 - 2x + 2y^2 - 8y + 3) = 4y - 8Andre ordens deriverte:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{blue}{2x - 2}) = 2 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{red}{4y - 8}) = 4 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = \frac{\partial}{\partial x} (\textcolor{red}{4y - 8}) = 0 \\ [0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial x}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} (\textcolor{blue}{2x - 2}) = 0 (Den siste trengte vi egentlig ikke regne ut fordi den er lik den nest siste.)
+ Bruk definisjonen til å bestemme de partielt deriverte av: $f(x,y) = 3xy \:-\: y^2 $
Først finner vi den partielt deriverte med hensyn på $x$ ut fra definisjonen:
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 3(x + \Delta x)y - y^2 - ( 3xy - y^2)}{\Delta x} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 3xy + 3 \Delta x \, y - y^2 - 3xy + y^2}{\Delta x} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \cancel{3xy} + 3 \Delta x \, y - \cancel{y^2} - \cancel{3xy} + \cancel{y^2}}{\Delta x} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 3 \Delta x \, y }{\Delta x} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 3 \cancel{\Delta x} \, y }{\cancel{\Delta x}} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} & = 3y
\end{align*}
som er samme resultat som vi hadde fått hvis vi bare behandlet $y$ som en konstant.
Deretter finner vi den partielt deriverte med hensyn på $y$ ut fra definisjonen:
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ 3x(y + \Delta y) - (y + \Delta y)^2 - ( 3xy - y^2)}{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ 3xy + 3 x \Delta y - \left(y^2 + 2 y \Delta y + (\Delta y)^2\right) - 3xy + y^2}{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ \cancel{3xy} + 3 x \Delta y - \cancel{y^2} - 2 y \Delta y - (\Delta y)^2 - \cancel{3xy} + \cancel{y^2}}{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ 3 x \Delta y - 2 y \Delta y - (\Delta y)^2 }{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ \Delta y (3 x - 2 y - \Delta y) }{\Delta y} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{ \cancel{\Delta y} (3 x - 2 y - \Delta y) }{\cancel{\Delta y}} \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = \lim_{\Delta y \to 0}(3 x - 2 y - \Delta y) \\
\Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial y} & = 3 x - 2 y
\end{align*}
som er samme resultat som vi hadde fått hvis vi bare behandlet $x$ som en konstant.