Polynom av grad $n$:
f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0- $n = 0$ gir en konstant funksjon, $f(x) = a_0$
- $n = 1$ gir en lineær funksjon, $f(x) = a_1x + a_0$ med stigningstall $a_1$
- $n = 2$ gir en kvadratisk funksjon, $f(x) = a_2x^2 + a_1 x + a_0$
Alle polynomer er kontinuerlige funksjoner.
+ Hvordan finner jeg nullpunkter til et polynom?
Nullpunkter til et polynom, er de $x$-verdiene som gir at polynomet er lik null.
f(x) = 0
- Når du plotter grafen, finner du nullpunktene der grafen krysser x-aksen.
- Du kan maksimalt ha like mange nullpunkt som graden til polynomet.
+ Hvordan finner jeg hvor grafen krysser y-aksen?
Grafen krysser y-aksen der $x=0$:
y = f(0)
I et polynom blir alle ledd lik null bortsett fra konstant-leddet, dvs. $f(0) = a_0$.
+ Hvordan finner jeg topp- og bunnpunkt?
Du kan finne topp- og bunnpunkt ved å plotte grafen, men det enkleste er å sette den deriverte lik null:
f’(x) = 0
+ Eksempel 1: Hva er hva?
f(x) = x^5 + 4x^2 + 2x - 3
- Polynomet har fire ledd
- Polynomet er av 5. grad siden den høyeste eksponenten er $5$
- Første ledd har koeffisienten 1 og er grad 5
- Andre ledd har koeffisienten 4 og er grad 2
- Tredje ledd har koeffisienten 2 og er grad 1 (NB $x^1 = x$)
- Fjerde ledd har koeffisienten -3 og er grad 0 (NB: $x^0 = 1$)
+ Eksempel 2: Konstant funksjon
Konstant funksjon lik 2:
f(x) = 2
Grafen til $f(x)$:
Grafen har ingen nullpunkt siden $f(x)$ aldri kan bli null.
+ Eksempel 3: Lineær funksjon
En lineær funksjon som krysser y-aksen i $\textcolor{red}{2}$ og har stigningstall $\textcolor{blue}{-1}$:
f(x) = \textcolor{blue}{-}x \textcolor{red}{+2}Grafen til $f(x)$:
Nullpunkt
Krysse y-aksen
Stigningstall
Bare grafen
Vi finner nullpunktet ved å sette $f(x) = 0$:
\begin{array}{rrcll}
&-x + 2&=& 0 & | - 2\\
\Rightarrow & -x &=& -2 & | \cdot (-1) \\
\Rightarrow & x &=& 2
\end{array}Funksjonen har et nullpunkt i $\textcolor{darkorange}{x=2}$ og det stemmer jo fint med grafen som krysser $x$-aksen i $\textcolor{darkorange}{x=2}$.
+ Eksempel 4: Lineær funksjon
En lineær funksjon som krysser y-aksen i $\textcolor{red}{-0.5}$ og har stigningstall $\textcolor{blue}{0.5}$:
f(x) = \textcolor{blue}{0.5}x \textcolor{red}{- 0.5}Grafen til $f(x)$:
Nullpunkt
Krysse y-aksen
Stigningstall
Bare grafen
Vi finner nullpunktet ved å sette $f(x) = 0$:
\begin{array}{rrcll}
&0.5x - 0.5 &=& 0 & | + 0.5 \\
\Rightarrow & 0.5x &=& 0.5 & | \cdot \frac{1}{0.5} \\
\Rightarrow & x &=& 1
\end{array}Funksjonen har et nullpunkt i $\textcolor{darkorange}{x=1}$ og det stemmer jo fint med grafen som krysser $x$-aksen i $\textcolor{darkorange}{x=1}$.
+ Eksempel 5: Kvadratisk funksjon
En kvadratisk funksjon:
f(x) = x^2 - x \textcolor{red}{- 2}Grafen til $f(x)$:
Nullpunkt
Krysse y-aksen
Bunnpunkt
Bare grafen
Vi finner nullpunkt ved å sette $f(x) = 0$ og bruke andregradsformelen:
\begin{aligned}
& x^2 \textcolor{blue}{-} x \textcolor{green}{- 2} = 0 \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-(\textcolor{blue}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{1 \pm 3}{2} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{1-3}{2} = -1 \quad \textnormal{eller} \quad x = \frac{1 + 3}{2} = 2
\end{aligned}Funksjonen har et nullpunkt i $\textcolor{darkorange}{x=-1}$ og et i $\textcolor{darkorange}{x=2}$. Det stemmer jo fint med grafen som krysser $x$-aksen i de to punktene.
+ Eksempel 6: Kubisk funksjon
En kubisk funksjon:
f(x) = x^3 + 2x^2 - x \textcolor{red}{- 2}Grafen til $f(x)$:
Nullpunkt
Krysse y-aksen
Toppunkt
Bunnpunkt
Bare grafen
Vi finner nullpunkt ved å faktorisere $f(x)$:
\begin{aligned}
& x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \\
\Rightarrow \quad & (x-1)(x+1)(x+2) = 0 \\
\Rightarrow \quad & (x-1) = 0 \quad \textnormal{eller} \quad (x+1) = 0 \quad \textnormal{eller} \quad (x+2) = 0 \\
\Rightarrow \quad & x =1 \qquad \textnormal{eller} \qquad x = -1 \qquad \textnormal{eller} \qquad x = -2
\end{aligned}Funksjonen har et nullpunkt i $\textcolor{darkorange}{x=1}$, et i $\textcolor{darkorange}{x=-1}$ og et i $\textcolor{darkorange}{x=-2}$. Det stemmer jo fint med grafen som krysser $x$-aksen i de to punktene.