En funksjon er kontinuerlig dersom den er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.
Funksjonen $f(x)$ er kontinuerlig i punktet $x = a$ dersom:
\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x)- $x \to a^-$ betyr at $x$ går mot $a$ fra lavere verdier
- $x \to a^+$ betyr at $x$ går mot $a$ fra høyere verdier
+ Eksempler på kontinuerlige funksjoner
Eksempler på kontinuerlige funksjoner
- Polynomer (f.eks. $x^n$)
- Trigonometriske funksjoner
- $\sin(x)$ og $\cos(x)$ er kontinuerlige for alle $x$
- $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ er diskontinuerlig når $\cos(x) = 0$
- Eksponentialfunksjoner (f.eks. $e^x$ og $10^x$)
- Logaritmefunksjoner (f.eks. $\log(x)$ og $\ln(x)$)
- Potenser (f.eks. $x^r$
- Absoluttverdi (f.eks. $|x|$)
Dersom $f$ og $g$ er kontinuerlige og $a$ er et reelt tall:
- $af$ er kontinuerlig
- $f \pm g$ er kontinuerlig
- $f \cdot g$ er kontinuerlig
- $\frac{f}{g}$ er kontinuerlig dersom $g \neq 0$
- $f \circle g = f(g(x))$ er kontinuerlig
+ Eksempel 1: $f(x) = 1/(x + 2)$
Gitt en funksjon:
f(x) = \frac{1}{x - 2}- Når nevneren er ulik null, er $f(x)$ kontinuerlig
- Når nevneren er lik null, er $f(x)$ diskontinuerlig:
\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \\
f(2) \textnormal{ er ikke definert} \\
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty$f(x)$ har en vertikal asymptote i $x = 2$.
+ Eksempel 2: $f(x) = 1/(x^2 + 1)$
Gitt en funksjon:
f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}- Når nevneren er ulik null, er $f(x)$ kontinuerlig
- Når nevneren er lik null, er $f(x)$ diskontinuerlig, men $x^2 + 1$ er større enn null for alle reelle verdier.
$f(x)$ er en kontinuerlig funksjon.
+ Eksempel 3: Delt forskrift
Gitt en funksjon:
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0 \\ x, & x \ge 0\end{array} \right.- Funksjonen er kontinuerlig i begge definisjonsområdene $x <0$ og $x > 0$
- Vi trenger bare sjekke $x = 0$:
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0 \\
f(0) = 0 \\
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0Siden alle tre er like, er $f(x)$ er en kontinuerlig funksjon.
+ Eksempel 4: Delt forskrift
Gitt en funksjon:
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 2 \\ x, & x \ge 2 \end{array} \right.- Funksjonen er kontinuerlig i begge definisjonsområdene $x < 2$ og $x > 2$
- Vi trenger bare sjekke $x = 2$:
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0 \\
f(2) = 2 \\
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2 = 2Siden alle tre ikke er like, er $f(x)$ er en diskontinuerlig funksjon.