Heaviside funksjonen kalles en «stepfunksjon» fordi den tar et steg fra 0 til 1 når argumentet (det som puttes inn i funksjonen) krysser 0:
u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < 0 \\ 1 & \textnormal{når } x \ge 0 \end{array} \right.- Du kan se på Heaviside funksjonen som en bryter som skrus på ved $x=0$.
- Oppfunnet av en selvlært matematiker og fysiker Oliver Heaviside (1850-1925)
- Brukes mye i signalbehandling, alle steder der vi trenger en bryter, Laplace transformer og i Maxwells ligninger
+ Eksempel 1: $f(x) = u(x \:-\: 2)$
f(x) = u(x-2) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < 2 \\ 1 & \textnormal{når } x \ge 2 \end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 0 & 1 & 1.99 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
x-2 & -2 & -1 & -0.01 & 0& 1 & 2 \\ \hline
u(x-2) & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}+ Eksempel 2: $f(x) = u(x + 1)$
f(x) = u(x+1) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < -1 \\ 1 & \textnormal{når } x \ge -1 \end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -3 & -2 & -1.01 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
x+1 & -2 & -1 & -0.01& 0 & 1 & 2 \\ \hline
u(x+1) & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}+ Eksempel 3: $f(x) = u(x+1) + u(x-2)$
f(x) = u(x+1) + u(x-2) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textnormal{når } x < -1 \\
1 & \textnormal{når } -1 \le x < 2 \\
2 & \textnormal{når } 2 \le x
\end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
u(x+1) & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
u(x-2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
u(x+1) + u(x-2) & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2
\end{array}+ Eksempel 4: $f(x) = u(x+1) \:-\: u(x-2)$
f(x) = u(x+1) - u(x-2) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textnormal{når } x < -1 \\
1 & \textnormal{når } -1 \le x < 2 \\
0 & \textnormal{når } 2 \le x
\end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
u(x+1) & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
u(x-2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
u(x+1) - u(x-2) & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}+ Eksempel 5: $f(x) = 3u(x)$
f(x) = 3u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < 0 \\ 3 & \textnormal{når } x \ge 0 \end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1 & -0.01 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
u(x) & 0 & 0 & 0& 1 & 1 & 1 \\ \hline
3u(x) & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3
\end{array}+ Eksempel 6: $f(x) = xu(x\:-\:1)$
f(x) = xu(x-1) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < 1 \\ x & \textnormal{når } x \ge 1 \end{array} \right.Her er en tabell med verdier i tilfelle du synes det blir lettere å skjønne:
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c}
x & -1 & 0 & 0.99 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
x-1 & -2 & -1 & -0.01 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
u(x-1) & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
f(x) = xu(x-1) & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{array}+ Eksempel 7: $f(x) = \sin(x)u(x)$
f(x) = \sin(x)u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textnormal{når } x < 0 \\ \sin(x) & \textnormal{når } x \ge 0 \end{array} \right.+ Eksempel 8: Finn funksjon fra graf
Finn funksjonen til grafen ved hjelp av Heaviside-funksjoner:
Ser at grafen begynner på 1. Ved $x=-2$ hopper grafen opp til 4 og ved $x=1$ hopper den ned til 3:
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textnormal{når } x < -2 \\ 4 & \textnormal{når } -2 \le x < 1 \\ 3 & \textnormal{når } 1 \le x \end{array} \right.Nå vil vi skrive funksjonen ved hjelp av Heaviside-funksjoner. Det kan gjøres på flere måter.
Grafen har to hopp. Dermed kan vi bruke to Heaviside-funksjoner: en som endrer noe ved $x=-2$ og en ved $x=1$:
f(x) = A + Bu(x+2) + C(x-1)
- Siden grafen begynner på $1$, setter vi $A=1$.
- Ved $x=-2$ hopper grafen opp tre hakk. Derfor setter vi $B=3$
- Ved $x=1$ hopper grafen ned ett hakk. Derfor setter vi $C=-1$
f(x) = 1 + 3u(x+2) - u(x-1)
Og, vips, har vi funksjonen til grafen.