Funksjoner: Diracs impulsfunksjon

Diracs impulsfunksjon er uendelig når $x=0$ og null ellers:

\delta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
0 & \textnormal{når } x < 0 \\ 
\infty & \textnormal{når } x = 0 \\
0 & \textnormal{når } x > 0 
\end{array} \right.
  • Kalles også enhetspulsen eller impulsfunksjonen
  • Innført av en engelsk fysiker, Paul Dirac (1902–1984)
  • Brukes mye i signalbehandling, kvantemekanikk, alle steder der vi har en impuls og Laplace transformer

+ Definisjon og viktig egenskap

Diracs deltafunksjon, $\delta(x)$, er definert slik at:

\int_a^b \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{f(0)} 
\quad \textnormal{ når } a \le 0 < b

Og, vips, blir noen integraler mye enklere.

Noen eksempler:

\int_{-\infty}^{\infty} \textcolor{blue}{e^{5x}} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{e^{5 \cdot 0}} = 1 \\
\int_{-10}^{10} \textcolor{blue}{7\sin(x) e^{10 + x}} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{7 \sin(0)e^{10 + 0}} = 0 \\
\int_{-7}^5 \textcolor{blue}{(x^4 + 5x^2 - 7x +18)} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{0^4 + 5 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 18}  = 18

Utfordring: Se for deg at du deler integralet opp i masse tynne «stolper» (Rieman sum). Hver stolpe har bredde $dx$ som går mot null. Høyden til stolpen ved $x=0$ er $f(0)\delta(0)$. Alle andre stolper har høyde null siden $\delta(x) = 0$ når $x \neq 0$. Når du skal regne ut integralet, summerer du alle arealene til stolpene. Den eneste stolpen som gir noe bidrag er den der høyden er $f(0)\delta(0)$. Bredden til denne stolpen er uendelig liten, men $\delta(0)$ er akkurat så uendelig stor at arealet høyde $\times$ bredde = $f(0)\delta(0) \times ds$ blir $f(0)$. Genialt, ikke sant?

+ Eksempel 1: $\int_0^5 e^{2x} \delta(x)dx$

\int_0^5 \textcolor{blue}{e^{2x}} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{e^{2 \cdot 0}} = 1

fordi:

\int_a^b \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{f(0)} 
\quad \textnormal{ når } a \le 0 < b

+ Eksempel 2: $\int_0^5 e^{2x} \delta(x-1)dx$

\int_0^5 \textcolor{blue}{e^{2x}} \textcolor{red}{\delta(x-1)} dx

Her må vi først bruke substitusjon:

\begin{array}{llcl}
& u = x - 1 & \Rightarrow & du = dx \\
\textnormal{Nedre grense: } & x = 0 & \textnormal{gir} & u = 0 - 1 = -1 \\
\textnormal{Øvre grense: } & x = 5 & \textnormal{gir} &u = 5 - 1 = 4
\end{array}

Husk å bytte grensene slik at de gjelder $u$:

\int_0^5 \textcolor{blue}{e^{2x}} \textcolor{red}{\delta(x-1)} dx 
= \int_{-1}^4 \textcolor{blue}{e^{2(u + 1)}} \textcolor{red}{\delta(u)} du
= \textcolor{blue}{e^{2}}

fordi:

\int_a^b \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{f(0)} 
\quad \textnormal{ når } a \le 0 < b

+ Eksempel 3: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-c)dx$

\int_{-\infty}^{\infty} \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x-c)} dx

Her må vi først bruke substitusjon:

\begin{array}{llcl}
& u = x - c & \Rightarrow & du = dx \\
\textnormal{Nedre grense: } & x = -\infty & \textnormal{gir} & u = - \infty \\
\textnormal{Øvre grense: } & x = \infty & \textnormal{gir} &u = \infty 
\end{array}

Husk å bytte grensene slik at de gjelder $u$:

\int_{-\infty}^{\infty} \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x-c)} dx 
= \int_{-\infty}^{\infty} \textcolor{blue}{f(u+c)} \textcolor{red}{\delta(u)} du
= f(c)

fordi:

\int_a^b \textcolor{blue}{f(x)} \textcolor{red}{\delta(x)} dx = \textcolor{blue}{f(0)} 
\quad \textnormal{ når } a \le 0 < b

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Eksponentialfunksjoner