\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \sin(x) & = \cos(x) \\
\frac{d}{dx} \cos(x) & = -\sin(x) \\
\frac{d}{dx} \tan(x) & = \frac{1}{\cos^2 (x)} = 1 + \tan^2(x)
\end{aligned}+ Hvordan utledes den deriverte av sinus?★
Vi starter med definisjonen av den deriverte:
\begin{aligned}
& f(x) = \sin(x) \\
& f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}\\
\Rightarrow \qquad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\sin(x + \triangle x) - \sin(x)}{\triangle x}
\end{aligned}Deretter bruker vi at sin(u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u):
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\sin(x) \cos(\triangle x) + \sin(\triangle x) \cos(x) - \sin(x)}{\triangle x}Når △x er veldig liten er sin(△x) ≈ △x og cos(△x) ≈ 1:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\sin(x) \cdot 1 + \triangle x \cdot \cos(x) - \sin(x)}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{ \triangle x \cdot \cos(x)}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \cos(x) \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \cos(x)
\end{aligned}Og, vips, fikk vi det samme som regelen vår påstod.
+ Hvordan utledes den deriverte av cosinus?★
Vi starter med definisjonen av den deriverte:
\begin{aligned}
& f(x) = \cos(x) \\
& f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}\\
\Rightarrow \qquad & f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\cos(x + \triangle x) - \cos(x)}{\triangle x}
\end{aligned}Deretter bruker vi at cos(u + v) = cos(u) cos(v) - sin(u) sin(v):
f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\cos(x) \cos(\triangle x) - \sin(x) \sin(\triangle x) - \cos(x)}{\triangle x}Når △x er veldig liten er sin(△x) ≈ △x og cos(△x) ≈ 1:
\begin{aligned}
f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\cos(x) \cdot 1 - \sin(x) \cdot \triangle x - \cos(x)}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{ - \triangle x \cdot \sin(x)}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = \lim_{\triangle x \to 0} (-\sin(x)) \\
\Rightarrow \quad f’(x) & = -\sin(x)
\end{aligned}Og, vips, fikk vi det samme som regelen vår påstod.
+ Hvordan utledes den deriverte av tangens?★
Vi husker at tan(x) = sin(x)/cos(x) og bruker kvotientregelen:
\begin{aligned}
& \left( \frac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)^{\!’} = \frac{\textcolor{purple}{u’} \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v’}}{\textcolor{blue}{v}^2} \\
& \frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\textcolor{red}{\sin(x)}}{\textcolor{blue}{\cos(x)}} \right) \\
\Rightarrow \quad & \frac{d}{dx} \tan (x) = \frac{\textcolor{purple}{\cos(x)} \textcolor{blue}{\cos(x)} - \textcolor{red}{\sin(x)} (\textcolor{green}{-\sin(x)})}{\textcolor{blue}{\cos^{\textcolor{black}{2}}(x)}} \\
\Rightarrow \quad & \frac{d}{dx} \tan (x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\
\end{aligned}Herfra har vi to muligheter. Den første er å bruke at cos2(x) + sin2(x) = 1:
\frac{d}{dx} \tan (x) = \frac{1}{\cos^2(x)}Og den andre er å dele opp brøken og bruke at tan(x) = sin(x)/cos(x):
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} \tan (x) = \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \tan (x) = 1 + \tan^2(x)
\end{aligned}Og, vips, har vi to uttrykk for den deriverte av tangens.
+ Hvordan kan vi forstå den deriverte av sinus grafisk?
Her har vi plottet y = sin(x):
Og her har vi plottet den deriverte av sin(x), nemlig y = cos(x):
Legg merke til:
- Positivt stigningstall: Når grafen til sinus (øverst) stiger, er grafen til den deriverte positiv (blå linje)
- Negativ stigningstall: Når grafen til sinus (øverst) synker, er grafen til den deriverte negativ (rød linje)
- Topp-/bunnpunkt: Når grafen til sinus (øverst) har null som stigningstall, er grafen til den deriverte lik null (grønn sirkel)
- Det høyeste stigningstallet til sinus (øverst), er når grafen til den deriverte har et toppunkt (blå ruter)
- Det laveste stigningstallet til sinus (øverst), er når grafen til den deriverte har et bunnpunkt (rød ruter)
+ Hvordan kan vi forstå den deriverte av cosinus grafisk?
Her har vi plottet y = cos(x):
Og her har vi plottet den deriverte av cos(x), nemlig y = - sin(x):
Legg merke til:
- Positivt stigningstall: Når grafen til cosinus (øverst) stiger, er grafen til den deriverte positiv (blå linje)
- Negativ stigningstall: Når grafen til cosinus (øverst) synker, er grafen til den deriverte negativ (rød linje)
- Topp-/bunnpunkt: Når grafen til cosinus (øverst) har null som stigningstall, er grafen til den deriverte lik null (grønn sirkel)
- Det høyeste stigningstallet til cosinus (øverst), er når grafen til den deriverte har et toppunkt (blå ruter)
- Det laveste stigningstallet til cosinus (øverst), er når grafen til den deriverte har et bunnpunkt (rød ruter)