Derivasjon: Tangent

En tangent er en rett linje som berører grafen, og har samme stigningstallet som grafen i punktet de har felles.

Figuren over viser tre tangenter:
1. Den røde har positivt stigningstall
2. Den grønne har negativt stigningstall
3. Den lilla er en horisontal tangent og har null i stigningstall

Legg merke til:
1. Tangentene har positivt stigningstall når grafen stiger, dvs. f(x) > 0
2. Tangentene har negativt stigningstall, når grafen synker, dvs. f(x) < 0
3. Tangentene er horisontale i topp- og bunnpunkt, dvs. f(x) = 0

Når vi vil finne ligningen for tangenten til f(x) i x = x₀, starter med ligningen til en rett linje:

y = ax + b

Stigningstallet til en tangent, a, er det samme som den deriverte til funksjonen i punktet de har felles:

\begin{aligned}
a & = f’(x_0) \\
\Rightarrow \quad y & = f’(x_0)x + b
\end{aligned}

Vi vet at grafen og tangenten skal ha et punkt felles (x,y) = (x₀, f(x₀)). Det kan vi sette inn i ligningen over for å finne b:

\begin{aligned}
f(x_0) & =  f’(x_0)x_0 + b \\
\Rightarrow \quad \qquad b & = f(x_0) - f’(x_0) x_0
\end{aligned}

Dette uttrykket for b kan vi sette inn i ligningen for tangenten:

\begin{aligned}
y & = f’(x_0)x + b \\
\Rightarrow \quad y & = f’(x_0)x + f(x_0) - f’(x_0) x_0
\end{aligned}

Og så kan vi rydde litt for å få et finere uttrykk

\begin{aligned}
y & = f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
\end{aligned}

Og, vips, har vi ligningen for tangenten til f(x) i punktet x = x₀.