Derivasjon: Produktregelen

(u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’

Produktregelen bruker vi når vi skal derivere produktet av to funksjoner:

\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} \\ \textcolor{red}{x^3} \cdot \textcolor{blue}{\ln(x)} \\ \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)}

Først finner vi ut hvilke to funksjoner vi har. Og deretter deriverer vi dem hver for seg før vi setter inn i formelen.

Alternativ notasjon:

\frac{d}{dx} (u v) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}

Og, vips, får vi noe som forhåpentligvis er lettere å derivere.

Vi starter med en funksjon som er et produkt av to funksjoner:

f(x) = u(x) \cdot v(x)

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x} \\ \Rightarrow \qquad f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x + \triangle x) \cdot v(x + \triangle x) - u(x) \cdot v(x)}{\triangle x}

Vi har lov til å trekke noe fra og legge det til igjen. Det tilsvarer å legge til null.

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x + \triangle x) v(x + \triangle x) - \textcolor{red}{u(x) v(x + \triangle x)} + \textcolor{red}{u(x) v(x + \triangle x) } - u(x) v(x)}{\triangle x}

Nå kan vi dele brøken i to brøker:

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x + \triangle x) v(x + \triangle x) - u(x) v(x + \triangle x)}{\triangle x} + \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x) v(x + \triangle x) - u(x) v(x)}{\triangle x}

Det som er likt kan vi sette utenfor i hver brøk:

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x + \triangle x) - u(x)}{\triangle x} v(x + \triangle x) + \lim_{\triangle x \to 0} \frac{v(x + \triangle x) - v(x)}{\triangle x} u(x)

Når △x går mot null, går v(x + △x) mot v(x). I tillegg får vi den deriverte til u i første brøk og den deriverte til v i den andre brøken.

f’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x)

Og, vips, har vi produktregelen.

\frac{d}{dx} (x \cos(x))

Setter u(x) = x og v(x) = cos(x) som gir u’(x) = 1 og v’(x) = – sin(x).

\begin{aligned} \textnormal{Formel: } &(\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’} \\ & \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\cos(x)}) = \textcolor{purple}{1} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} + \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{green}{-\sin(x)}) \\ \Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (x \cos(x)) = \cos(x) - x \sin(x) \end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

\frac{d}{dx} (x^3 \ln(x))

Setter u(x) = x³ og v(x) = ln(x) som gir u’(x) = 3x² og v’(x) = 1/x.

\begin{aligned} \textnormal{Formel: } &(\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’} \\ & \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{x^3} \textcolor{blue}{\ln(x)}) = \textcolor{purple}{3x^2} \cdot \textcolor{blue}{\ln(x)} + \textcolor{red}{x^3} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (x^3 \ln(x)) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

\frac{d}{dx} (e^x \sin(x))

Setter u(x) = e^x og v(x) = sin(x) som gir u’(x) = e^x og v’(x) = cos(x).

\begin{aligned} \textnormal{Formel: } &(\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})’ = \textcolor{purple}{u’} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{green}{v’} \\ & \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{e^x} \textcolor{blue}{\sin(x)}) = \textcolor{purple}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{green}{\cos(x)} \\ \Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (e^x \sin(x)) = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) \end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!