\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \ln(x) & = \frac{1}{x} \\
\frac{d}{dx} \log_a x & = \frac{1}{\ln(a) x}
\end{aligned}+ Når brukes disse reglene?
Disse reglene bruker vi når vi skal derivere logaritmer. Eksempler:
\ln(\textcolor{red}{x}) \\
\ln(\textcolor{red}{2x}) \\
\ln(\textcolor{red}{x^2 + 5}) \\
\log(\textcolor{red}{x}) \\
\log(\textcolor{red}{2x}) \\
\log_5(\textcolor{red}{x}) + Hva hvis vi vil derivere en logaritmefunksjon som er en funksjon av x?
Hvis logaritmefunksjonen er en funksjon av x, kan vi bruke kjerneregelen. Da setter vi det vi skal ta logaritmen av, lik kjernen, u(x). For eksempel:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \ln (\textcolor{red}{2x}) & = \frac{d}{du} \ln (\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln (\textcolor{red}{2x}) & = \frac{1}{u}\cdot \textcolor{blue}{2} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(2x) & = \frac{1}{2x} \cdot 2 \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(2x) & = \frac{1}{x} \\
\end{aligned}Og, vips, har vi derivert ferdig.
+ Hva hvis grunntallet ikke er e?
Hvis grunntallet er et annet tall enn e, f.eks. a:
\frac{d}{dx} \log_a(x)kan vi bruke et lite tips:
\begin{aligned}
\log_a(x) & = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}\\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log_a(x) & = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)
\end{aligned}Siden ln(a) bare er en konstant, kan vi sette den foran:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \log_a(x) & = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right) \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log_a(x) & = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log_a(x) & = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log_a(x) & = \frac{1}{\ln(a) x}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver ln(x)
\frac{d}{dx} \ln(x)Hvis vi vil derivere ln(x), bruker vi bare formelen:
\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver ln(5x)
\frac{d}{dx} \ln(5x)Her bruker vi kjerneregelen siden vi vet hvordan vi skal derivere ln(x), men ikke ln(5x). Da setter vi kjernen lik u(x) = 5x:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{5x}) & = \frac{d}{du} \ln(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(5x) & = \frac{1}{u} \cdot \textcolor{blue}{5} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(5x) & = \frac{1}{5x} \cdot 5 \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(5x) & = \frac{1}{x}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver ln(x2 + 5)
\frac{d}{dx} \ln(x^2 + 5)Her vi kjerneregelen siden vi kan derivere ln(x), men ikke ln(x2 + 5). Da setter vi kjernen u(x) = x2 + 5:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{x^2 + 5}) & = \frac{d}{du} \ln(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{x^2 + 5}) & = \frac{1}{u} \cdot \textcolor{blue}{2x} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 5) & = \frac{1}{x^2 + 5} \cdot 2x \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 5) & = \frac{2x}{x^2 + 5}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver log(x)
\frac{d}{dx} \log(x)log(x) har 10 som grunntall. Først må vi derfor bruke et lite triks:
\begin{aligned}
\log(x) & = \frac{\ln(x)}{ \ln(10) } \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \right)
\end{aligned}Siden ln(10) bare er en konstant, kan vi sette den foran::
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{x} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(10)x}
\end{aligned}Eventuelt kan vi bare sette a = 10 i formelen:
\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{\ln(a) x}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver log(2x)
\frac{d}{dx} \log(2x)log(x) har 10 som grunntall. Først må vi derfor bruke et lite triks:
\begin{aligned}
\log(2x) & = \frac{\ln(2x)}{ \ln(10) } \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(2x) & = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(2x)}{\ln(10)} \right)
\end{aligned}Siden ln(10) bare er en konstant, kan vi sette den foran::
\frac{d}{dx} \log(2x) = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(2x)For å derivere ln(2x), må vi bruke kjerneregelen siden vi vet hvordan vi skal derivere ln(x), men ikke ln(2x). Da setter vi kjernen lik u(x) = 2x:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \log (2x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{2x}) \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log (2x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{d}{du} \ln(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log (2x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{u} \cdot \textcolor{blue}{2} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log (2x) & = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{2x} \cdot \textcolor{blue}{2} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log (2x) & = \frac{1}{\ln(10) x}
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Deriver log5(x)
\frac{d}{dx} \log_5(x)log5(x) har 5 som grunntall. Først må vi derfor bruke et lite triks:
\begin{aligned}
\log_5(x) & = \frac{\ln(x)}{ \ln(5) } \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log_5(x) & = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{\ln(5)} \right)
\end{aligned}Siden ln(5) bare er en konstant, kan vi sette den foran::
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(5)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(5)} \cdot \frac{1}{x} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \log(x) & = \frac{1}{\ln(5)x}
\end{aligned}Eventuelt kan vi bare sette a = 5 i formelen:
\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{\ln(a) x}Og, vips, er vi ferdige!