I et lite område rundt x = x0 er:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
\end{aligned}+ Hva er lineær tilnærming?
I et lite område rundt x=x0, vil tangenten til en funksjon og funksjonen ha omtrent samme verdi.
Tangenten er en lineær funksjon og kan derfor brukes som en lineær tilnærming.
Ofte bruker vi lineær tilnærming når vi trenger en lettere funksjon å jobbe med.
For eksempel bygger værmeldingen på veldig komplekse ligninger, men dersom vi vet været i dag og hvordan det endrer seg, kan vi lage en lineær tilnærming som stemmer kort tid fremover.
+ Eksempel: Finn en lineær tilnærming til f(x) = sin(x) når x = 0
Vi setter først x0 = 0 i formelen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0) \\
\Rightarrow \quad f(x) & \approx f’(0) (x-0) + f(0)
\end{aligned}Derfor må vi finne både f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) & = \sin(x) & \quad \Rightarrow \quad & f(0) = \sin(0) = 0 \\
f’(x) & = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad & f’(0) = \cos(0) = 1
\end{aligned}Deretter kan vi sette inn i ligningen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(0) (x-0) + f(0) \\
\Rightarrow \quad \sin(x) & \approx 1 (x-0) + 0 \\
\Rightarrow \quad \sin(x) & \approx x
\end{aligned}
Når ingeniørene setter sin(x) ≈ x, er det en helt grei tilnærming når x er liten. Jo lengre vekk fra x = 0, jo større blir feilen.
+ Eksempel: Finn en lineær tilnærming til f(x) = cos(x) når x = 0
Vi setter først x0 = 0 i formelen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0) \\
\Rightarrow \quad f(x) & \approx f’(0) (x-0) + f(0)
\end{aligned}Derfor må vi finne både f(0) og f’(0):
\begin{aligned}
f(x) & = \cos(x) & \quad \Rightarrow \quad & f(0) = \cos(0) = 1 \\
f’(x) & = -\sin(x) & \quad \Rightarrow \quad & f’(0) = -\sin(0) = 0
\end{aligned}Deretter kan vi sette inn i ligningen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(0) (x-0) + f(0) \\
\Rightarrow \quad \cos(x) & \approx 0 (x-0) + 1 \\
\Rightarrow \quad \cos(x) & \approx 1
\end{aligned}
Når ingeniørene setter cos(x) ≈ 1, er det en helt grei tilnærming når x er liten. Jo lengre vekk fra x = 0, jo større blir feilen.
+ Eksempel: Bruk lineær tilnærming for å finne en omtrentlig verdi for kvadratroten av 17
Vi vet kvadratroten av 16. Og det er ganske nærme 17. Vi setter derfor x0 = 16 i formelen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(x_0) (x - x_0) + f(x_0) \\
\Rightarrow \quad f(x) & \approx f’(16) (x-16) + f(16)
\end{aligned}Derfor må vi finne både f(16) og f’(16):
\begin{aligned}
f(x) & = \sqrt{x} & \quad \Rightarrow \quad & f(16) = \sqrt{16} = 4 \\
f’(x) & = \frac{1}{2 \sqrt{x}} & \quad \Rightarrow \quad & f’(16) = \frac{1}{2 \sqrt{16}} = \frac{1}{8}
\end{aligned}PS: Bruk derivasjon av potenser for å derivere kvadratroten.
Deretter kan vi sette inn i ligningen for lineær tilnærming:
\begin{aligned}
f(x) & \approx f’(16) (x-16) + f(16) \\
\Rightarrow \quad \sqrt{x} & \approx \frac{1}{8} (x-16) + 4 \\
\Rightarrow \quad \sqrt{x} & \approx \frac{x}{8} + 2
\end{aligned}Nå har vi en approksimasjon som fungerer i et lite område rundt x = 16. Vi ville ha kvadratroten av 17:
\sqrt{17} \approx \frac{17}{8} + 2 = 2.125 + 2 = 4.125Den eksakte verdien er 4.1231056… Dermed er 4.125 en helt grei tilnærming.
Jo lengre vekk fra x = 16, jo større blir feilen. F.eks. gir formelen at kvadratroten av 100 er tilnærmet 14.5, mens den egentlig er 10. Og kvadratroten av 10000 er tilnærmet 1252 når den egentlig er 100.
← Matematikk
↓ Oppgaver
→ Definisjon
