f’(u(x)) = f’(u) \cdot u’(x)
+ Når bruker vi kjerneregelen?
Kjerneregelen bruker vi når vi skal derivere en sammensatt funksjon, dvs. en funksjon som er inni en annen funksjon. Den «innerste» funksjonen kaller vi en kjerne. Her er noen eksempler på funksjoner som har en kjerne:
(\textcolor{red}{x + 2})^9 \\
(\textcolor{red}{ 2x^3 + x^2})^5 \\
\cos(\textcolor{red}{x^2 + 4}) \\
e^{\textcolor{red}{ 2x + 4}} \\
\sqrt{\textcolor{red}{ x^3 + 2}} \\
\frac{1}{\textcolor{red}{ x^2 + x + 1}} \\
\ln(\textcolor{red}{x^2 + x + 1}) \\
(\textcolor{red}{\ln(x)})^2+ Hvordan brukes kjerneregelen?
Først velger vi en kjerne, u(x). Ofte er dette en funksjon som lager problemer for oss, dvs. hvis det bare hadde stått x der, ville vi klart å derivere. F.eks. vi klarer å derivere x9, derfor velger u(x) = x+2 dersom vi skal derivere (x+2)9.
Når vi har valgt en kjerne, bytter vi ut kjernen med en u og deriverer funksjonen med hensyn på kjernen. Og så multipliserer vi med den deriverte av kjernen.
Alternativ notasjon:
\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}Og, vips, får vi noe som forhåpentligvis er lettere å derivere.
+ Eksempel: Deriver (x + 2)9
\frac{d}{dx} (x+2)^9Velger u(x) = x + 2 fordi vi kan derivere u9, men ikke (x + 2)9.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{x+2})^9 = \frac{d}{du} \textcolor{red}{u}^9 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (x+2)^9 = 9u^8 \cdot \textcolor{blue}{1}
\end{aligned}Setter u(x) = x + 2 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} (x+2)^9 = 9(x+2)^8Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} (x+2)^9 = 9(x+2)^8 \cdot \frac{d}{dx} (x+2) = 9 (x+2)^8+ Eksempel: Deriver (2x3 + x2)5
\frac{d}{dx} ({ 2x^3 + x^2})^5Velger u(x) = 2x3 + x2 fordi vi kan derivere u5, men ikke (2x3 + x2)5.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{2x^3+x^2})^5 = \frac{d}{du} \textcolor{red}{u}^5 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (2x^3+x^2)^5 = 5u^4 \cdot (\textcolor{blue}{6x^2 + 2x})
\end{aligned}Setter u(x) = 2x3 + x2 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} (2x^3+x^2)^5 = 5(2x^3+x^2)^4 (6x^2 + 2x)Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} (2x^3+x^2)^5 = 5(2x^3+x^2)^4 \cdot \frac{d}{dx} (2x^3+x^2) = 5 (2x^3+x^2)^4 (6x^2 + 2x)+ Eksempel: Deriver cos(x2 + 4)
\frac{d}{dx} \cos(x^2+4)Velger u(x) = x2 + 4 fordi vi kan derivere cos(u), men ikke cos(x2 + 4).
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} \cos(\textcolor{red}{x^2+4}) = \frac{d}{du} \cos(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \cos(x^2+4) = - \sin(u) \cdot \textcolor{blue}{2x}
\end{aligned}Setter u(x) = x2 + 4 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} \cos(x^2+4) = - 2x\sin(x^2 + 4) Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} \cos(x^2+4) = - \sin(x^2 + 4) \cdot \frac{d}{dx} (x^2+4) = - 2x \sin(x^2 + 4)+ Eksempel: Deriver e2x + 4
\frac{d}{dx} e^{2x+4}Velger u(x) = 2x + 4 fordi vi kan derivere eu, men ikke e2x+4.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} e^{\textcolor{red}{2x + 4}} = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} e^{2x + 4} = e^u \cdot \textcolor{blue}{2}
\end{aligned}Setter u(x) = 2x + 4 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} e^{2x+4} = 2 e^{2x + 4} Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} e^{2x + 4} = e^{2x + 4} \cdot \frac{d}{dx} (2x+4) = 2e^{2x + 4}+ Eksempel: Deriver √(x3 + 7)
\frac{d}{dx} \sqrt{x^3 + 7}Velger u(x) = x3 + 7 fordi vi kan derivere √u, men ikke √(x3 + 7). Husk at √u = u1/2.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} \sqrt{x^3 + 7} = \frac{d}{du} \sqrt{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \sqrt{x^3 + 7} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \textcolor{blue}{3x^2} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \sqrt{x^3 + 7} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}
\end{aligned}Setter u(x) = x3 + 7 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} \sqrt{x^3+7} = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 7}} Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} \sqrt{x^3 + 7} = \frac{1}{2} (x^3 + 7)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} (x^3+7) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 7}}+ Eksempel: Deriver 1/(x2 + x + 1)
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right)Velger u(x) = x2 + x + 1 fordi vi kan derivere 1/u, men ikke 1/(x2 + x + 1). Husk at 1/u = u-1.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right) = \frac{d}{du} \left( \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \right) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right) = (-1) \cdot u^{-2} \cdot (\textcolor{blue}{2x + 1}) \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right) = - \frac{1}{u^2} \cdot (\textcolor{blue}{2x + 1})
\end{aligned}Setter u(x) = x2 + x + 1 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right) = - \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + x + 1} \right) = - (x^2 + x + 1)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + x + 1) = - \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}+ Eksempel: Deriver ln(x2 + x + 1)
\frac{d}{dx} \ln (x^2 + x + 1)Velger u(x) = x2 + x + 1 fordi vi kan derivere ln(u), men ikke ln(x2 + x + 1).
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} \ln(\textcolor{red}{x^2 + x + 1}) = \frac{d}{du} \ln(\textcolor{red}{u}) \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} \ln(x^2 + x + 1) = \frac{1}{u} \cdot (\textcolor{blue}{2x + 1})
\end{aligned}Setter u(x) = x2 + x + 1 for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} \ln(x^2 + x + 1) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} \ln(x^2 + x + 1) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + x + 1) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}+ Eksempel: Deriver (ln(x))2
\frac{d}{dx} ( \ln (x) )^2Velger u(x) = ln(x) fordi vi kan derivere u2, men ikke (ln(x))2.
\begin{aligned}
& \frac{d}{dx} (\textcolor{red}{\ln(x)})^2 = \frac{d}{du} \textcolor{red}{u}^2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \qquad & \frac{d}{dx} (\ln(x))^2 = 2 u \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{x}}
\end{aligned}Setter u(x) = ln(x) for å vende tilbake til x:
\frac{d}{dx} (\ln(x))^2 = \frac{2 \ln(x)}{x} Og, vips, er vi ferdige!
Vi kan bruke kjerneregelen direkte uten å definere u tydelig:
\frac{d}{dx} (\ln(x))^2 = 2 \ln(x) \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) = 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x}