Derivasjon: Eksponentialfunksjoner

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} e^x & = e^x \\
\frac{d}{dx} a^x & = \ln(a) a^x
\end{aligned}

+ Når brukes disse reglene?

Disse reglene bruker vi når x er i eksponenten. Eksempler:

e^{\textcolor{red}{x}} \\
e^{\textcolor{red}{2x}} \\
e^{\textcolor{red}{x^2 + 5}} \\
5^{\textcolor{red}{x}} \\
5^{\textcolor{red}{2x}}

+ Hva hvis eksponenten er en funksjon av x?

Hvis eksponenten er en funksjon av x, kan vi bruke kjerneregelen. Da setter vi eksponenten lik kjernen, u(x). For eksempel:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left(e^{\textcolor{red}{2x}} \right) & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{2x} \right) & = e^u \cdot \textcolor{blue}{2} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{2x} \right) & = 2e^{2x}
\end{aligned}

Og, vips, har vi derivert ferdig.

+ Hva hvis grunntallet ikke er e?

Hvis grunntallet er et annet tall enn e, f.eks. a:

\frac{d}{dx} a^x

kan vi bruke et lite tips:

\begin{aligned}
a & = e^{\ln(a)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} a^x & = \frac{d}{dx} \left(e^{\ln(a)}\right)^x
\end{aligned}

Siden (ea)b = eab, har vi:

\frac{d}{dx} a^x = \frac{d}{dx} e^{\ln(a)x}

Nå kan vi bruke kjerneregelen og setter eksponenten lik kjernen, u(x) = ln(a) x, som gir du/dx = ln(a) siden ln(a) bare er en konstant:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} a^x & = \frac{d}{dx} e^{\textcolor{red}{\ln(a)x}} \\
\frac{d}{dx} a^x & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} a^x & = e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\ln(a)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} a^x & = e^{\textcolor{red}{\ln(a) x}} \textcolor{blue}{\ln(a)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} a^x & = a^x \ln(a)
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver ex

\frac{d}{dx}  e^x

ex er den enkleste funksjonen å derivere (og integrere) siden den bare er lik seg selv:

\frac{d}{dx} e^x = e^x

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver e5x

\frac{d}{dx} e^{5x}

Siden eksponenten er en funksjon av x, bruker vi kjerneregelen. Da setter vi eksponenten lik kjernen, u(x) = 5x:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left(e^{\textcolor{red}{5x}} \right) & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{5x} \right) & = e^u \cdot \textcolor{blue}{5} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{5x} \right) & = 5e^{5x}
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver ex2 + 5

\frac{d}{dx} e^{x^2 + 5}

Siden eksponenten er en funksjon av x, bruker vi kjerneregelen. Da setter vi eksponenten lik kjernen, u(x) = x2 + 5:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left(e^{\textcolor{red}{x^2 + 5}} \right) & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{x^2 + 5} \right) & = e^u \cdot \textcolor{blue}{2x} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left(e^{x^2 + 5} \right) & = 2xe^{x^2 + 5}
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver 5x

\frac{d}{dx} 5^x

Først kan vi bruke et lite triks: 5 = eln(5):

\frac{d}{dx} 5^x = \frac{d}{dx} e^{\ln(5)x}

Nå kan vi bruke kjerneregelen og setter eksponenten lik kjernen, u(x) = ln(5) x, som gir du/dx = ln(5) siden ln(5) bare er en konstant:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} 5^x & = \frac{d}{dx} e^{\textcolor{red}{\ln(5)x}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^x & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^x & = e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\ln(5)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^x & = e^{\textcolor{red}{\ln(5) x}} \textcolor{blue}{\ln(5)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^x & = 5^x \ln(5)
\end{aligned}

Eventuelt kan vi bare sette a = 5 i formelen:

\frac{d}{dx} a^x = \ln(a) a^x

Og, vips, er vi ferdige!

+ Eksempel: Deriver 52x

\frac{d}{dx} 5^{2x}

Først kan vi bruke et lite triks: 5 = eln(5):

\frac{d}{dx} 5^{2x} = \frac{d}{dx} e^{2\ln(5)x}

Nå kan vi bruke kjerneregelen og setter eksponenten lik kjernen, u(x) = 2 ln(5) x, som gir du/dx = 2ln(5) siden 2ln(5) bare er en konstant:

\begin{aligned}
\frac{d}{dx} 5^{2x} & = \frac{d}{dx} e^{\textcolor{red}{2\ln(5)x}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^{2x} & = \frac{d}{du} e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{du}{dx}} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^{2x} & = e^{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{2\ln(5)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^{2x} & = e^{\textcolor{red}{\ln(5) x}} \cdot \textcolor{blue}{2\ln(5)} \\
\Rightarrow \quad \frac{d}{dx} 5^{2x} & = 2 \ln(5 )5^x 
\end{aligned}

Og, vips, er vi ferdige!

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Logaritmefunksjoner