Derivasjon: Definisjon

Tenk deg at du velger en x-verdi og finner punktet den gir på grafen din. La oss kalle dette punktet P.

Deretter velger du en ny x-verdi som er litt større enn den forrige. Forskjellen kaller vi △x og så finner vi punktet den gir på grafen din. La oss kalle dette punktet for Q.

Når du trekker en linje gjennom de to punktene P og Q, får du en linje med stigningstall:

\frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}

Se nå for deg at de to x-verdiene ligger veldig tett på hverandre, dvs. at △x blir så liten at den nesten er null. Da vil linjen mellom de to punktene P og Q bli til en tangent.

Denne tangenten har stigningstall:

\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}

lim betyr grense («limit») og her finner vi grensen av det som står etterpå, når △x går mot null.

Vi kaller stigningstallet til tangenten for den deriverte.

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}

Den deriverte til en funksjon kan skrives på mange måter:

f’(x) = \frac{d}{dx} f(x)= \frac{df}{dx}

Eksempler:

\begin{aligned}
(x^2)’ & = \frac{d}{dx} x^2 \\
( \sin(x) + 5)’ & = \frac{d}{dx} ( \sin(x) + 5 ) 
\end{aligned}

Hvis vi har en funksjon som er avhengig av tid, hender det at vi bruker en prikk over når vi deriverer med hensyn på tid. For eksempel er hastighet lik den deriverte av strekning:

v = \dot{s}

Og akselerasjon er lik den deriverte av fart (og dermed den dobbeltderiverte av strekning):

a = \dot{v} = \ddot{s}

Vi kan derivere samme funksjon flere ganger. De høyre ordens deriverte har også flere skrivemåter:

\begin{aligned}
\textnormal{2 ganger derivert:} \quad f’’(x) = & \frac{d^2 f}{dx^2} = \frac{d^2}{dx^2} f(x) \\
\textnormal{3 ganger derivert:} \quad f’’’(x) = & \frac{d^3 f}{dx^3} = \frac{d^3}{dx^3} f(x) \\
\textnormal{4 ganger derivert:} \quad f^{(4)}(x) = & \frac{d^4 f}{dx^4} = \frac{d^4}{dx^4} f(x) \\
\textnormal{osv.}
\end{aligned}

Eksempler:

\begin{aligned}
(x^2)’’ & = \frac{d^2}{dx^2} x^2 \\
( \sin(x) + 5)’’’ & = \frac{d^2}{dx^3} ( \sin(x) + 5 ) 
\end{aligned}

Vi bruker definisjonen til den deriverte:

f’(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}

Vi skal finne den deriverte når x = 2, så da setter vi x = 2:

\begin{aligned}
f’(2) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(2 + \triangle x) - f(2)}{\triangle x}
\end{aligned}

Siden f(x) = x² bruker vi det også:

\begin{aligned}
f’(2) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2 + \triangle x)^2 - 2^2}{\triangle x}
\end{aligned}

Nå trenger vi bare å gange ut parentesen (bruk gjerne første kvadratsetning) og forenkle uttrykket:

\begin{aligned}
f’(2) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{4 + 4\triangle x + (\triangle x)^2 - 4}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(2) & = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{4\triangle x + (\triangle x)^2}{\triangle x} \\
\Rightarrow \quad f’(2) & = \lim_{\triangle x \to 0} (4 + \triangle x )
\end{aligned}

Til sist lar vi △x gå mot null:

f’(2) = 4

Og, vips, er vi ferdige!

Stigningstallet til en graf er det samme som den deriverte. I forrige eksempel fant vi at den deriverte til f(x) = x² i x = 2, er 4. Dermed er stigningstallet til y = x² i x = 2 lik 4.

Stigningstallet i x = 2:

f’(x) = \frac{4}{1} = 4