\int u v’ dx = u v - \int u’ v dx
+ Når bruker vi delvis integrasjon?
Delvis integrasjon brukes når vi skal integrere to funksjoner er multiplisert sammen.
\int u(x) v(x) dx
Eksempler:
\int x \sin(x) dx, \quad \int e^x \cos(x) dx, \quad \int x \ln(x) dx, \quad \int (x^2 + 2) e^x dx
+ Utledning av formelen for delvis integrasjon
Ta utgangspunkt i produktregelen:
u’v + uv’ = (uv)’
Flytt andre ledd over på høyre side:
uv’ = (uv)’ - u’v
Integrer begge sider:
\int u v’ dx = u v - \int u’ v dx
Og, vips, har vi vi formelen for delvis integrasjon!
+ Eksempel: Integrer $x^2 \ln(x)$
\int x^2 \ln(x) dx
+ Kort video
Velger hva som skal være $u$ og hva som skal være $v’$. Logaritmer er enklere å derivere enn å integrere, derfor velger vi den som $u$.
\textcolor{red}{u = \ln(x)} \\ \textcolor{blue}{v' = x^2}$\Rightarrow$
\textcolor{purple}{u' = \frac{1}{x}} \\ \textcolor{green}{v = \frac{1}{3} x^3}Setter inn i formelen:
\textnormal{Formel:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx \newline
\int \textcolor{red}{\ln(x)} \textcolor{blue}{x^2} dx = \textcolor{red}{\ln(x)} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{3}x^3} - \int \textcolor{purple}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{3} x^3} dxRydder litt og integrer det siste leddet:
\begin{aligned}
\int x^2 \ln(x) dx & = \frac{1}{3} x^3 \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 dx \newline
\Rightarrow \int x^2 \ln(x) dx &= \frac{1}{3} x^3 \ln(x) - \frac{1}{9} x^3 + C
\end{aligned}Sjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av produktregelen:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 \ln(x) + \frac{1}{9} x^3 + C \right)
&= \frac{1}{3} \left( 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{9} \cdot 3x^2 \\
&= x^2 \ln(x) + \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{3} x^2 \\
&= x^2 \ln(x)
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Integrer $x sin(x)$
\int x \sin(x) dx
+ Kort video
Velg hva som skal være $u$ og hva som skal være $v’$. Hvis noe blir enklere av å derivere det, er det lurt å velge det som $u$.
\textcolor{red}{u = x} \\ \textcolor{blue}{v' = \sin(x)}$\Rightarrow$
\textcolor{purple}{u' = 1} \\ \textcolor{green}{v = -\cos(x)}Vær oppmerksom på fortegn når du setter inn i formelen:
\textnormal{Formel:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx \newline
\int \textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{\sin(x)} dx = \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{green}{-\cos(x)}) - \int \textcolor{purple}{1} \cdot (\textcolor{green}{- \cos(x)}) dxRydd litt i fortegnene og integrer det siste leddet:
\int x \sin(x) dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) dx \newline \Rightarrow \int x \sin(x) dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C
Sjekk svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av produktregelen:
\frac{d}{dx} \left( -x \cos(x) + \sin(x) + C \right) = - 1 \cdot \cos(x) - x \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) = x \sin(x)Og, vips, er vi ferdige!
+ Eksempel: Integrer $e^x \cos(x)$
\int e^x \cos(x) dx
Velg hva som skal være $u$ og hva som skal være $v’$. Verken $e$x eller cosinus blir enklere av å derivere eller integrere, så her bare velger vi noe.
\textcolor{red}{u = e^x} \\ \textcolor{blue}{v' = \cos(x)}$\Rightarrow$
\textcolor{purple}{u' = e^x} \\ \textcolor{green}{v = \sin(x)}Setter inn i formelen:
\textnormal{Formel:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx \newline
\int \textcolor{red}{e^x} \textcolor{blue}{\cos(x)} dx = \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{green}{\sin(x)} - \int \textcolor{purple}{e^x} \cdot \textcolor{green}{\sin(x)} dxFor å integrere det siste integralet, må vi bruke delvis integrasjon en gang til på det siste integralet.
\int e^x \cos(x) dx = e^x \cdot \sin(x) - \int \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} dx\textcolor{red}{u = e^x} \\ \textcolor{blue}{v' = \sin(x)}$\Rightarrow$
\textcolor{purple}{u' = e^x} \\ \textcolor{green}{v = -\cos(x)}\textnormal{Formel:} \int \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v’} dx =\textcolor{red}{u} \textcolor{green}{v} - \int \textcolor{purple}{u’} \textcolor{green}{v} dx \newline
\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) - \left( \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{green}{-\cos(x)}) - \int \textcolor{purple}{e^x} \cdot (\textcolor{green}{-\cos(x)}) dx \right)Rydder litt i fortegnene:
\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) - \left( - e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx \right) \\ \Rightarrow \int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) - \int e^x \cos(x) dx
Ser at integralet på høyre side er likt integralet på venstre side. Derfor flytter vi det leddet over (akkurat som ville gjort hvis det stod $x = 4 – x$ for å få $2x = 4$) og deler begge sider på to:
2\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) + C \\
\int e^x \cos(x) dx = \frac{1}{2}e^x \sin(x) + \frac{1}{2}e^x \cos(x) + C'Sjekker svaret ved å derivere resultatet ved hjelp av produktregelen:
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}e^x \sin(x) + \frac{1}{2} e^x \cos(x) + C \right)
&= \frac{1}{2} ( e^x \sin(x) + e^x \cos(x) ) + \frac{1}{2} (e^x \cos(x) - e^x \sin(x)) \\
&= e^x \cos(x) \\
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige!