Ulikhetstegn:
Mindre enn: $<$
Strørre enn: $>$
Mindre enn eller lik: $\le$
Større enn eller lik: $\ge$
Ulikheter løses på nesten samme måte som ligninger.
Unntak: Snu ulikhetstegnet hvis du ganger eller deler med et negativt tall.
+ Hvorfor snus ulikhetstegnet?
Hvis vi vil forstå hvorfor vi snur ulikhetstegnet, kan vi begynne med en veldig enkel ulikhet:
3 > 1
Hva skjer hvis vi multipliserer begge sider med -2?
\begin{array}{rcll}
3 &>& 1 & | \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\
3 \cdot (\textcolor{red}{-2}) & \textcolor{red}{<}& 1 \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\
-6 &<&-2
\end{array}Selv om tallverdien på venstre side fortsatt er større enn på høyre (dvs. 6 er større enn 2), så har fortegnene skiftet og siden med størst tallverdi, blir det minste tallet (dvs. -6 er mindre enn -2).
+ Eksempel: Løs: $3x + 7 < 5x - 1$
\begin{array}{rcll}
3x + 7 &<&5x - 1 & | \textcolor{blue}{- 7} \textcolor{red}{- 5x} \\
3x + 7 \textcolor{blue}{- 7} \textcolor{red}{- 5x} &<&5x - 1 \textcolor{blue}{- 7} \textcolor{red}{- 5x} \\
-2x &<& -8 & | \cdot \left(\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\right) \\
-2x \cdot \left(\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\right) &\textcolor{red}{>}& -8 \cdot \left(\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\right) \\
x &>& 4
\end{array}Merk! Ulikhetstegnet ble snudd da vi multipliserte med $-\frac{1}{2}$.
Sjekker en verdi over 4 og en under 4 i tillegg til 4.
\begin{array}{llll}
x = 5:
& \textnormal{Venstre side:} & 3x + 7 = 3 \cdot 5 + 7 = \textcolor{red}{22} \\
& \textnormal{Høyre side:} & 5x - 1 = 5 \cdot 5 - 1 = 24 > \textcolor{red}{22} & \textnormal{ok} \\
x = 3:
& \textnormal{Venstre side:} & 3x + 7 = 3 \cdot 3 + 7 = \textcolor{red}{16} \\
& \textnormal{Høyre side:} & 5x - 1 = 5 \cdot 3 - 1 = 14 < \textcolor{red}{16} & \textnormal{ok} \\
x = 4:
& \textnormal{Venstre side:} & 3x + 7 = 3 \cdot 4 + 7 = \textcolor{red}{19} \\
& \textnormal{Høyre side:} & 5x - 1 = 5 \cdot 4 - 1 = 19 = \textcolor{red}{19} & \textnormal{ok} \\
\end{array}+ Eksempel: $\ln(x-2) + 3 \ln(2) \leq \ln(2x + 2)$
Nå vil vi løse en ulikhet med logaritmer:
\ln(x-2) + 3 \ln(2) \leq \ln(2x + 2)
Siden vi bare kan ta logaritmen av positive tall, må:
\begin{array}{rcl}
x-2 > 0 & \Rightarrow & x > 2 \\
2x + 2 > 0 & \Rightarrow & 2x > -2 \; \Rightarrow \; x > -1
\end{array}I ulikheten er den naturlige logaritmen ($\ln$) med $e$ som grunntall. Derfor setter vi $e$ som grunntall på begge sider og bruker potensregler og logaritmeregler:
\begin{array}{rcll}
e^{\ln(x-2) \textcolor{red}{+} 3 \ln(2)} &\leq& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } \textcolor{red}{a^{m+n} = a^m \cdot a^n} \\
e^{\ln(x-2)} \textcolor{red}{\cdot} e^{\textcolor{blue}{3 \ln(2)}} &\leq& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } \textcolor{blue}{y \ln x = \ln x^y} \\
e^{\ln(x-2)} \cdot e^{\textcolor{blue}{\ln(2^3)}} &\leq& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } e^{\ln x} = x \\
(x-2) \cdot 2^3 &\leq& 2x + 2 \\
8x - 16 &\le& 2x + 2 & | \textcolor{green}{+ 16 - 2x} \\
8x - 16 \textcolor{green}{+ 16 - 2x} &\leq& 2x + 2 \textcolor{green}{+ 16 - 2x} \\
6x &\leq& 18 & | \cdot \frac{1}{6} \\
x &\leq& 3
\end{array}Siden vi fra før vet at $x >2$, er løsningen:
2 < x \leq 3
Og, vips, er vi ferdige.
+ Eksempel: Løs: $|3x + 2| < 4$
Nå vil vi løse en ulikhet med absoluttverdi:
|3x + 2| < 4
Her må vi splitte opp ulikheten i to. Enten må $3x + 2 < 4$ eller så må den negative verdien (dvs. -(3x + 2)) være mindre enn fire.
\begin{array}{rcll}
3x + 2 &<&4 & \textnormal{eller} & -(3x +2) &<& 4 \\
3x &<&2 & \textnormal{eller} & -3x - 2 &<& 4 \\
x &<& \frac{2}{3} & \textnormal{eller} & -3x &<& 6 \\
&&& & x &\textcolor{red}{>}& -2
\end{array}Og, vips, har vi løsningen $-2 < x < \frac{2}{3}$.
Tips: Sjekk at $x = −2$ og $x =\frac{2}{3}$ gir samme resultatet på begge sider. Test gjerne en $x$-verdi
mindre enn (-2), mellom (-2) og $\frac{2}{3}$, og større enn $\frac{2}{3}$ for å se om du får det du forventer. Da er du sikret.
Noen synes det er enklere å løse ulikheter grafisk:
Når den blå linjen (grafen til $|3x+2|$) ligger lavere enn den røde (grafen til $4$), er ulikheten tilfredsstilt. Det skjer når $-2 < x < \frac{2}{3}$.
+ Eksempel: Løs: $|x - 1| > 2$
Nå vil vi løse en ulikhet med absoluttverdi:
|x -1| > 2
Her må vi splitte opp ulikheten i to. Enten må $x - 2 > 4$ eller så må den negative verdien (dvs. -(x - 1)) være større enn to.
\begin{array}{rcll}
x - 1 &>&2 & \textnormal{eller} & -(x - 1) &>& 2 \\
x &>&3 & \textnormal{eller} & -x + 1 &>& 2 \\
&&& & -x &<& 1 \\
&&& & x &\textcolor{red}{<}& -1
\end{array}Og, vips, har vi løsningen $x < -1$ eller $x > 3$.
Tips: Sjekk at $x = −1$ og $x = 3$ gir samme resultatet på begge sider. Test gjerne en $x$-verdi
mindre enn (-1), mellom (-1) og $3$, og større enn $3$ for å se om du får det du forventer. Da er du sikret.
Noen synes det er enklere å løse ulikheter grafisk:
Når den blå linjen (grafen til $|x-1|$) ligger høyere enn den røde (grafen til $2$), er ulikheten tilfredsstilt. Det skjer når $x < -1$ og når $x > 3$.