Polynomdivisjon er å dele et polynom på et annet polynom.
Fremgangsmåte:
- Sorter polynomet slik at leddet med høyest grad står lengst til venstre
- Utfør divisjonen på samme måte som når du deler to tall på hverandre for hånd
Polynomdivsjon er nyttig når vi skal …
… forkorte en brøk
… finne løsningen til en ligning
… bruke delbrøksoppspaltning
+ Eksempel 1: Vanlig divisjon
Del 4376 på 3
\frac{4376}{3} = 4376 : 3Første spørsmål: Hvor mange ganger går 3 opp i 4? Jo, 1. Derfor er første siffer i svaret 1 og vi skriver $3 \cdot 1 = 3$ under 4-tallet:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{4}376 : \textcolor{red}{3} = \textcolor{red}{1} \cdots \\
& \textcolor{blue}{3}
\end{aligned}Deretter trekker vi 3 fra 4 og får 1, og trekker neste siffer ned:
\begin{aligned}
& \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{3}76 : 3 = 1 \cdots \\
-& \underline{\textcolor{red}{3} \;\;} \\
& \textcolor{red}{1} \textcolor{blue}{3}
\end{aligned}Andre spørsmål: Hvor mange ganger går 3 opp i 13? Jo, 4. Derfor er andre siffer i svaret 4 og vi skriver $3 \cdot 4 = 12$ under 13:
\begin{aligned}
& 4376 : \textcolor{red}{3} = 1\textcolor{red}{4} \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& \textcolor{red}{13} \\
& \textcolor{blue}{12} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi 12 fra 13 og får 1, og trekker neste siffer ned:
\begin{aligned}
& 43\textcolor{blue}{7}6 : 3 = 14 \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& \textcolor{red}{13} \\
-& \underline{\textcolor{red}{12}} \\
& \;\; \textcolor{red}{1} \textcolor{blue}{7}
\end{aligned}Tredje spørsmål: Hvor mange ganger går 3 opp i 17? Jo, 5. Derfor er tredje siffer i svaret 5 og vi skriver $3 \cdot 5 = 15$ under 17:
\begin{aligned}
& 4376 : \textcolor{red}{3} = 14 \textcolor{red}{5} \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& 13 \\
-& \underline{12} \\
& \;\; \textcolor{red}{17} \\
& \;\; \textcolor{blue}{15} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi 15 fra 17 og får 2, og trekker neste siffer ned:
\begin{aligned}
& 437\textcolor{blue}{6} : 3 = 14 \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& 13 \\
-& \underline{12} \\
& \;\; \textcolor{red}{17} \\
-& \;\;\underline{\textcolor{red}{15}} \\
& \;\;\;\; \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{6}
\end{aligned}Fjerde spørsmål: Hvor mange ganger går 3 opp i 26? Jo, 8. Derfor er fjerde siffer i svaret 8 og vi skriver $3 \cdot 8 = 24$ under 26:
\begin{aligned}
& 4376 : \textcolor{red}{3} = 145 \textcolor{red}{8} \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& 13 \\
-& \underline{12} \\
& \;\; 17 \\
-& \;\;\underline{15} \\
& \;\;\;\; \textcolor{red}{26} \\
& \;\;\;\; \textcolor{blue}{24}
\end{aligned}Deretter trekker vi 24 fra 26 og får 2.
\begin{aligned}
& 4376 : 3 = 1458 \cdots \\
-& \underline{3 \;\;} \\
& 13 \\
-& \underline{12} \\
& \;\; 17 \\
-& \;\;\underline{15} \\
& \;\;\;\; \textcolor{red}{26} \\
-& \;\;\;\; \underline{\textcolor{red}{24}} \\
& \;\;\;\;\;\; \textcolor{red}{2}
\end{aligned}Vi kan fortsette å trekke ned desimaltallene, dvs. null her siden 4376.0 = 4376. I så fall setter vi et komma etter 1458 og fortsetter på samme måte.
Alternativt kan vi bruke to som rest. Hva må vi gange 3 med for å få 2? Jo, $\frac{2}{3}$.
\begin{aligned}
& 4376 : \textcolor{red}{3} = 1458 + \textcolor{red}{\frac{2}{3}}\\
-& \underline{3 \;\;} \\
& 13 \\
-& \underline{12} \\
& \;\; 17 \\
-& \;\;\underline{15} \\
& \;\;\;\; 26 \\
-& \;\;\;\; \underline{24} \\
& \;\;\;\;\;\; \textcolor{red}{2} \\
-& \;\;\;\;\;\; \underline{\textcolor{blue}{2}} \\
& \;\;\;\;\;\; 0 \\
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å multiplisere:
3 \cdot \left(1458 + \frac{2}{3} \right) = 3 \cdot 1458 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 4374 + 2 = 4376+ Eksempel 2: Polynomdivisjon uten rest
Regn ut:
\frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 3}{x - 1}Første spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $x^3$? Jo, $x^2$. Derfor er første ledd i svaret $x^2$ og vi skriver $(x-1) \cdot x^2 = x^3 – \: x^2$ under:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - 3x^2 + 5x - 3): \textcolor{red}{( x - 1)} = \textcolor{red}{x^2}\cdots \\
& \textcolor{blue}{x^3} \textcolor{blue}{-} \textcolor{blue}{x^2} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi $(x^3-x^2)$ fra $(x^3 – \: 3x^2)$, og trekker neste ledd ned:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - \textcolor{red}{3x^2} +\textcolor{blue}{5x} - 3 ) : ( x - 1) = x^2 \; \cdots \\
-& \underline{(\textcolor{red}{x^3 - x^2})} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2} + \textcolor{blue}{5x}
\end{aligned}Andre spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $-2x^2$? Jo, $-2x$. Derfor er andre leddet i svaret $-2x$ og vi skriver $(x-1) \cdot (-2x) = -2x^2+2x$ under:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 3 ): \textcolor{red}{( x - 1)} = x^2 \textcolor{red}{- 2x} \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2} +5x \\
& \quad \; \textcolor{blue}{-2x^2 + 2x}
\end{aligned}Deretter trekker vi $(-2x^2 + 2x)$ fra $(-2x^2 + 5x)$, og trekker neste ledd ned:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - \textcolor{blue}{3} ): ( x - 1) = x^2 - 2x \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2 + 5x} \\
-& \quad \underline{(\textcolor{red}{-\:2x^2 + 2x})} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x} \textcolor{blue}{-3}
\end{aligned}Tredje spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $3x$? Jo, 3. Derfor er tredje ledd i svaret 3 og vi skriver $(x-1) \cdot 3 = 3x – 3$ under:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 3 ) : \textcolor{red}{( x - 1)} = x^2 - 2x + \textcolor{red}{3} \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 + 5x \\
-& \quad \;\; \underline{-\:2x^2 + 2x} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x} - 3 \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{blue}{3x - 3} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi $(3x-3)$ fra $(3x-3)$ og får 0:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 3 ) : ( x - 1) = x^2 - 2x + 3 \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 + 5x \\
-& \quad \underline{(-\:2x^2 + 2x)} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x - 3} \\
-& \qquad \qquad \;\; \underline{\textcolor{red}{(3x - 3)}} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad \; 0
\end{aligned}Og, vips, siden vi ikke har flere ledd igjen, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å multiplisere:
\begin{aligned}
(\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{- 1}) \cdot (x^2 - 2x + 3)
& = \textcolor{red}{x} (x^2 - 2x + 3) \textcolor{blue}{- 1} \cdot (x^2 - 2x + 3) \\
& = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2+ 2x - 3 \\
& = x^3 - 3x^2 + 5x - 3
\end{aligned}som viser at vi har rett svar.
+ Eksempel 3: Polynomdivisjon med rest
Regn ut:
\frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 5}{x - 1}Første spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $x^3$? Jo, $x^2$. Derfor er første ledd i svaret $x^2$ og vi skriver $(x-1) \cdot x^2 = x^3 – \: x^2$ under:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - 3x^2 + 5x - 5): \textcolor{red}{( x - 1)} = \textcolor{red}{x^2}\cdots \\
& \textcolor{blue}{x^3} \textcolor{blue}{-} \textcolor{blue}{x^2} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi $(x^3-x^2)$ fra $(x^3 – \: 3x^2)$, og trekker neste ledd ned:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - \textcolor{red}{3x^2} +\textcolor{blue}{5x} - 5 ) : ( x - 1) = x^2 \; \cdots \\
-& \underline{(\textcolor{red}{x^3 - x^2})} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2} + \textcolor{blue}{5x}
\end{aligned}Andre spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $-2x^2$? Jo, $-2x$. Derfor er andre leddet i svaret $-2x$ og vi skriver $(x-1) \cdot (-2x) = -2x^2+2x$ under:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 5 ): \textcolor{red}{( x - 1)} = x^2 \textcolor{red}{- 2x} \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2} +5x \\
& \quad \; \textcolor{blue}{-2x^2 + 2x}
\end{aligned}Deretter trekker vi $(-2x^2 + 2x)$ fra $(-2x^2 + 5x)$, og trekker neste ledd ned:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - \textcolor{blue}{5} ): ( x - 1) = x^2 - 2x \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; \textcolor{red}{-2x^2 + 5x} \\
-& \quad \underline{(\textcolor{red}{-\:2x^2 + 2x})} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x} \textcolor{blue}{-5}
\end{aligned}Tredje spørsmål: Hvor mange ganger går $x$ opp i $3x$? Jo, 3. Derfor er tredje ledd i svaret 3 og vi skriver $(x-1) \cdot 3 = 3x – \: 3$ under:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 5 ) : \textcolor{red}{( x - 1)} = x^2 - 2x + \textcolor{red}{3} \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 + 5x \\
-& \quad \; (\underline{-2x^2 + 2x}) \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x} - 5 \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{blue}{3x - 3} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi $(3x-3)$ fra $(3x-5)$ og får $-2$.
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 5 ) : ( x - 1) = x^2 - 2x + 3 \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 + 5x \\
-& \quad \underline{(-\:2x^2 + 2x)} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x - 5} \\
-& \qquad \qquad \;\; \underline{\textcolor{red}{(3x - 3)}} \\
& \qquad \qquad \qquad \textcolor{blue}{-2}
\end{aligned}Her har vi $-2$ som rest. Hva må vi gange $(x-1)$ med for å få $-2$? Jo, $-\frac{2}{x-1}$.
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 + 5x - 5 ) : \textcolor{red}{( x - 1)} = x^2 - 2x + 3 \textcolor{red}{- \frac{2}{x-1}}\\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 + 5x \\
-& \quad \underline{(-\:2x^2 + 2x)} \\
& \qquad \qquad \quad 3x - 5 \\
-& \qquad \qquad \;\; \underline{(3x - 3)} \\
& \qquad \qquad \qquad \textcolor{red}{-2} \\
& \qquad \qquad \qquad \; \underline{\textcolor{blue}{-\:2}} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad \; 0
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å multiplisere:
\begin{aligned}
&(x - 1) \cdot \left(x^2 - 2x + 3 - \frac{2}{x-1} \right) \\
& = (\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{- 1}) \cdot (x^2 - 2x + 3) + \textcolor{green}{(x-1)} \cdot \left( - \frac{2}{\textcolor{green}{x-1}} \right) \\
& = \textcolor{red}{x} (x^2 - 2x + 3) \textcolor{blue}{- 1} \cdot (x^2 - 2x + 3) - 2\\
& = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2+ 2x - 3 - 2\\
& = x^3 - 3x^2 + 5x - 5
\end{aligned}som viser at vi har rett svar.
+ Eksempel 4: Polynomdivisjon med rest
Regn ut:
\frac{x^3 + 2x - 1}{x^2 - x}Merk at her mangler vi et $x^2$-ledd. For å gjøre livet litt enklere for oss selv, kan vi ta med $0x^2$.
Første spørsmål: Hvor mange ganger går $x^2$ opp i $x^3$? Jo, $x$. Derfor er første ledd i svaret $x$ og vi skriver $(x^2-x) \cdot x = x^3 – \: x^2$ under:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - 0x^2 + 2x - 1): \textcolor{red}{( x^2 - x)} = \textcolor{red}{x} \; \cdots \\
& \textcolor{blue}{x^3} \textcolor{blue}{-} \textcolor{blue}{x^2} \\
\end{aligned}Deretter trekker vi $(x^3-x^2)$ fra $(x^3 – \: 0x^2)$, og trekker neste ledd ned:
\begin{aligned}
& (\textcolor{red}{x^3} - \textcolor{red}{0x^2} +\textcolor{blue}{2x} - 1 ) : ( x^2 - x) = x \; \cdots \\
-& \underline{(\textcolor{red}{x^3 - x^2})} \\
& \qquad \;\; \textcolor{red}{x^2} + \textcolor{blue}{2x}
\end{aligned}Andre spørsmål: Hvor mange ganger går $x^2$ opp i $x^2$? Jo, $1$. Derfor er andre leddet i svaret $1$ og vi skriver $(x^2-x) \cdot 1= x^2 – \: x$ under:
\begin{aligned}
& (x^3 - 0x^2 + 2x - 1 ): \textcolor{red}{( x^2 - x)} = x + \textcolor{red}{1} \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \qquad \;\; \textcolor{red}{x^2} + 2x \\
& \qquad \;\; \textcolor{blue}{x^2 - x}
\end{aligned}Deretter trekker vi $(x^2 – x)$ fra $(x^2 + 2x)$, og trekker neste siffer ned:
\begin{aligned}
& (x^3 + 0x^2 + 2x - 1 ): ( x^2 - x) = x + 1 \; \cdots \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \qquad \;\; \textcolor{red}{x^2 + 2x} \\
-& \qquad \; \underline{(\textcolor{red}{x^2 - x})} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x} \textcolor{blue}{-1}
\end{aligned}Her har vi $(3x-1)$ som rest. Hva må vi gange $(x^2-x)$ med for å få resten? Jo, $\frac{3x-1}{x^2-x}$.
\begin{aligned}
& (x^3 + 0x^2 + 2x - 1 ) : \textcolor{red}{( x^2 - x)} = x + 1 + \textcolor{red}{\frac{3x-1}{x^2-x}}\\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \qquad \;\; x^2 + 2x \\
-& \qquad \; \underline{(x^2 - x)} \\
& \qquad \qquad \quad \textcolor{red}{3x - 1} \\
-& \qquad \qquad \;\; \underline{(\textcolor{red}{3x - 1})} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad \;0
\end{aligned}Og, vips, er vi ferdige.
Vi kan sjekke svaret ved å multiplisere:
\begin{aligned}
&(x^2 - x) \cdot \left(x + 1 + \frac{3x-1}{x^2-x} \right) \\
& = (x^2 - x) \cdot x + (x^2 - x) \cdot 1 + \textcolor{green}{(x^2-x)} \cdot \left( \frac{3x-1}{\textcolor{green}{x^2-x}} \right) \\
& = x^3 - x^2 + x^2 - x + 3x - 1\\
& = x^3 + 2x^2 - 1
\end{aligned}som viser at vi har rett svar.