Algebra: Ligninger med ukjent i en logaritme

Steg 1: Rydd først slik at logartimen står alene:

\begin{array}{lcrlr} & 5 \log(x) & = & 15 & \quad | \; \cdot \frac{1}{5} \\ \Rightarrow \quad & \log(x) & = & \frac{15}{5}\\ \Rightarrow \quad & \log(x) & = & 3 \\ \end{array}

Steg 2: Nå står $\log(x)$ alene på venstre side. Grunntallet er 10. Derfor bruker vi 10 som grunntall på begge sider:

10^{\log (x)} = 10^3

Steg 3: Nå må vi bruke at $a^{\log_a (x)} = x$, dvs. $10^{\log (x)} = x$ og $10^3 = 10000$:

x = 10000

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & 5 \log(\textcolor{blue}{x}) = 5 \log(\textcolor{blue}{1000}) = 5 \cdot 3 = 15 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & 15 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

Steg 1: Rydd først slik at logaritmen står alene:

\begin{array}{lrclr} & 2 \log_5(x) & = & 6 & \quad | \; \cdot \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \quad & \log_5(x) & = & 3 \end{array}

Steg 2: Nå står $\log_5(x)$ alene på venstre side. Grunntallet er $5$. Vi kan bruke 5 som grunntall på begge sider::

5^{\log_5(x)} = 5^3

Steg 3: Nå må vi bruke at $a^{\log_a (x)} = x$, dvs. $5^{\log_5 (x)} = x$ og $5^3 = 125$:

x = 125

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & 2 \log_5(\textcolor{blue}{x}) = 2 \log_5(\textcolor{blue}{125}) = 2 \cdot 3 = 6 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & 6 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

Steg 1: Her står logaritmen allerede alene:

\ln(2x+3) = 7

Steg 2: Grunntallet til den naturlige logaritmen er $e$:

e^{\ln (2x + 3)} = e^7

Steg 3: Nå må vi bruke at $a^{\log_a (x)} = x$, dvs. $e^{\ln(2x + 3)} = 2x+3$:

\begin{array}{lrcll} & 2x+3 & = & e^7 & | -3 \\ \Rightarrow \quad & 2x &=& e^7 - 3 & | \cdot \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \quad & x &=& \frac{e^7- 3}{2} \; \approx \; 546.82 \end{array}

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & \ln(2\textcolor{blue}{x} + 3) \approx \ln( 2 \cdot \textcolor{blue}{546.82} + 3) \approx 7 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & 7 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

Steg 1: Her har vi logartimer i alle ledd:

\ln(x-2) + 3 \ln(2) = \ln(2x + 2)

Steg 2: Grunntallet til den naturlige logaritmen ($\ln$) er $e$. Derfor setter vi $e$ som grunntall på begge sider:

e^{\ln(x-2) + 3 \ln(2)} = e^{\ln(2x + 2)}

Steg 3: Nå kan vi bruke potensregler og logaritmeregler:

\begin{array}{rcll} e^{\ln(x-2) \textcolor{red}{+} 3 \ln(2)} &=& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } \textcolor{red}{a^{m+n} = a^m \cdot a^n} \\ e^{\ln(x-2)} \textcolor{red}{\cdot} e^{\textcolor{blue}{3 \ln(2)}} &=& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } \textcolor{blue}{y \ln x = \ln x^y} \\ e^{\ln(x-2)} \cdot e^{\textcolor{blue}{\ln(2^3)}} &=& e^{\ln(2x + 2)} & \textnormal{Regel: } e^{\ln x} = x \\ (x-2) \cdot 2^3 &=& 2x + 2 \\ 8x - 16 &=& 2x + 2 & | \textcolor{green}{+ 16 - 2x} \\ 8x - 16 \textcolor{green}{+ 16 - 2x} &=& 2x + 2 \textcolor{green}{+ 16 - 2x} \\ 6x &=& 18 & | \cdot \frac{1}{6} \\ x &=& 3 \end{array}

Steg 4: Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & \ln(\textcolor{blue}{x}-2) + 3 \ln(2) = \ln(\textcolor{blue}{3} - 2) + 3 \ln(2) \approx 2.079 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & \ln(2 \textcolor{blue}{x} + 2) = \ln(2 \cdot \textcolor{blue}{3} + 2) \approx 2.079 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.