Algebra: Irrasjonale ligninger

I irrasjonale ligninger er den ukjente under et rot-tegn.

Legg til og trekk fra ledd på begge sider til rot-tegnet står alene på en side
Opphøy begge sider i to
Løs som en førstegradsligning eller andregradsligning
Sjekk løsningen. Det kan oppstå falske løsninger når du løser irrasjonale ligninger. Derfor er det ekstra viktig å sjekke svarene.

Her står rot-tegnet alene, så vi opphøyer begge sier i to:

\begin{array}{lcrlr} & \sqrt{x} & = & 3 & \quad | \; \cdot^2 \\ \Rightarrow \quad & (\sqrt{x})^2 & = &3^2 \\ \Rightarrow \quad & x & = &9 \\ \end{array}

Sjekker svaret ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & \sqrt{\textcolor{blue}{x}} = \sqrt{\textcolor{blue}{9}} = 3 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & 3 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

Steg 1: Legg til og trekk fra ledd til rot-tegnet står alene på en side:

\begin{array}{lrcll} & \sqrt{x+1} - 3 & = & 0 & | \textcolor{red}{+ 3} \\ \Rightarrow \quad & \sqrt{x + 1} - 3 \textcolor{red}{+ 3} & = & 0 \textcolor{red}{+ 3} \\ \Rightarrow \quad & \sqrt{x+1} & = & 3 \end{array}

Steg 2: Opphøy begge sider i to:

\begin{array}{lrcll} & \sqrt{x+1} & = & 3 & | \; \textcolor{red}{\cdot^2} \\ \Rightarrow \quad & \textcolor{red}{(}\sqrt{x + 1}\textcolor{red}{)^2} & = & 3\textcolor{red}{^2} \\ \Rightarrow \quad & x+1 & = & 9 \end{array}

Steg 3: Løs som en førstegradsligning:

\begin{array}{lrcll} & x+1 & = & 9 & | \textcolor{red}{-1} \\ \Rightarrow \quad & x + 1 \textcolor{red}{-1} & = & 9 \textcolor{red}{-1} \\ \Rightarrow \quad & x & = & 8 \end{array}

Steg 4: Sjekk løsningen ved å sette inn i ligningen:

\begin{aligned} \textnormal{Venstre side:} \quad & \sqrt{\textcolor{blue}{x} + 1} = \sqrt{\textcolor{blue}{8} +1} = \sqrt{9} = 3 \\ \textnormal{Høyde side:} \quad & 3 \end{aligned}

Og, vips, har vi løsningen.

Steg 1: Rot-tegnet står alene på en side:

\begin{array}{lrcll} & \sqrt{x+2} & = & x \end{array}

Steg 2: Opphøy begge sider i to:

\begin{array}{lrcll} & \sqrt{x+2} & = & x & | \; \textcolor{red}{\cdot^2} \\ \Rightarrow \quad & \textcolor{red}{(}\sqrt{x + 2}\textcolor{red}{)^2} & = & x\textcolor{red}{^2} \\ \Rightarrow \quad & x+2 & = & x^2 \end{array}

Steg 3: Løs som en andregradsligning ved å først flytte alle ledd på samme side:

\begin{array}{lrcll} & x+2 & = & x^2 & | \textcolor{red}{-x^2} \\ \Rightarrow \quad & x + 2 \textcolor{red}{-x^2} & = & x^2 \textcolor{red}{-x^2} \\ \Rightarrow \quad & -x^2 + x + 2 & = & 0 \end{array}

\textcolor{red}{a} x^2 + \textcolor{blue}{b} x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}

Her er $\textcolor{red}{a = -1}$, $\textcolor{blue}{b = 1}$ og $\textcolor{green}{c = 2}$ som gir:

\begin{aligned} & x = \frac{-\textcolor{blue}{1} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{red}{(-1)}} \\ \Rightarrow \quad & x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2} \\ \Rightarrow \quad & x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-2} \\ \Rightarrow \quad & x = \frac{-1 \pm 3}{-2} \\ \Rightarrow \quad & x = \frac{-1-3}{-2} = 2 \; \textnormal{ eller } \; x \; = \; \frac{-1 + 3}{-2} = -1 \end{aligned}

Steg 4: Sjekk løsningene ved å sette inn i ligningen:

\begin{array}{lll} x = 2: & \textnormal{Venstre side:} \quad & \sqrt{\textcolor{blue}{x} + 2} = \sqrt{\textcolor{blue}{2} +2} = \sqrt{4} = 2 \\ & \textnormal{Høyde side:} \quad & \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{2} \\ x = -1: & \textnormal{Venstre side:} \quad & \sqrt{\textcolor{blue}{x} + 2} = \sqrt{\textcolor{blue}{-1} +2} = \sqrt{1} = 1 \\ & \textnormal{Høyde side:} \quad & \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{-1} \end{array}

OBS! I standard matematikk er kvadratroten av et tall lik den ikke-negative roten. Derfor er $\sqrt{1} = 1$ og ikke -1 selv om $(-1)^2 = 4$.

Sjekken vår viser at $x=2$ er en ekte løsning og $x=-1$ er en falsk løsning.

Og, vips, har vi kun løsningen $x=2$.

Steg 1: Rot-tegnet står alene på en side:

x - 2 = \sqrt{4 + x}

Steg 2: Opphøy begge sider i to:

\begin{array}{lrcll} & x - 2 & = & \sqrt{4+x} & | \; \textcolor{red}{\cdot^2} \\ \Rightarrow \quad & \textcolor{red}{(}x - 2\textcolor{red}{)^2} & = & \textcolor{red}{(} \sqrt{4+x}\textcolor{red}{)^2} \\ \Rightarrow \quad & x^2 - 4x + 4 & = & 4 + x \end{array}

der vi brukte andre kvadratsetning på venstre side.

Steg 3: Løs som en andregradsligning ved å først flytte alle ledd på samme side:

\begin{array}{lrcll} & x^2 - 4x + 4 & = & 4 + x & | \textcolor{red}{-4 - x} \\ \Rightarrow \quad & x^2 - 4x + 4 \textcolor{red}{-4-x} & = & 4 + x \textcolor{red}{-4-x} \\ \Rightarrow \quad & x^2 -5x & = & 0 \end{array}

Nå kan vi bruke andregradsformelen, men siden $x$ står i begge ledd er det enklere å faktorisere:

\begin{aligned} & x^2 - 5x = 0 \\ \Rightarrow \quad & x(x-5) = 0 \\ \Rightarrow \quad & x = 0 \; \textnormal{ eller } \; (x-5) = 0 \\ \Rightarrow \quad & x = 0 \; \textnormal{ eller } \; x = 5 \\ \end{aligned}

Steg 4: Sjekk løsningene ved å sette inn i ligningen:

\begin{array}{lll} x = 0: & \textnormal{Venstre side:} \quad & \textcolor{blue}{x} - 2 = \textcolor{blue}{0} - 2 = -2 \\ & \textnormal{Høyre side:} \quad & \sqrt{4 + \textcolor{blue}{x}} = \sqrt{4 + \textcolor{blue}{0}} = \sqrt{4} = 2 \\ x = 5: & \textnormal{Venstre side:} \quad & \textcolor{blue}{x} - 2 = \textcolor{blue}{5} - 2 = 3 \\ & \textnormal{Høyre side:} \quad & \sqrt{4 + \textcolor{blue}{x}} = \sqrt{4 + \textcolor{blue}{5}} = \sqrt{9} = 3 \\ \end{array}

OBS! I standard matematikk er kvadratroten av et tall lik den ikke-negative roten. Derfor er $\sqrt{4} = 2$ og ikke -2 selv om $(-2)^2 = 4$.

Sjekken vår viser at $x=0$ er en falsk løsning og $x=5$ er en ekte løsning.

Og, vips, har vi kun løsningen $x=5$.