Algebra: Fortegnsskjema

Fortegnsskjema bruker vi når vi vil sammenligne en funksjon som kan faktorisere, med null. For eksempel:

f(x) = \frac{(x-a)(x-b)}{x-c}

Steg 1: Tegn en $x$-akse og merk av de $x$-verdiene som gjør at en av faktorene blir null.

Steg 2: Tegn en linje for hver faktor…
... bruk heltrukket linje når faktoren er positiv, f.eks. $(x-a) > 0$ når $x > a$.
… bruk stiplet linje når faktoren er negativ, f.eks. $(x-a) < 0$ når $x < a$.
… tegn en sirkel når faktoren er null, f.eks. $(x-a) = 0$ når $x = a$.

Steg 3: Tegn en linje for funksjonen…
... bruk heltrukket linje når funksjonen er positiv, dvs. partall antall stiplet linjer.
… bruk stiplet linje når funksjonen er negativ, dvs. oddetall antall stiplet linjer.
… tegn en sirkel når funksjonen er null, dvs. faktorer over brøkstreken er null
… tegn et kryss når funksjonen har et brudd, dvs. faktorer under brøkstreken er null

Steg 4: Konkluder når funksjonen er mindre enn nulll, lik null eller større enn null.

+ Hvorfor bruker vi partall eller oddetall antall stiplet linjer?

  • Hvis alle faktorene er positive, vil hele uttrykket bli positivt, f.eks. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 > 0$
  • Dersom kun en av faktorene er negativ, vil hele uttrykket bli negativt fordi noe negativt multiplisert med noe positivt blir negativt, f.eks. $(-1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = -24 < 0$
  • Dersom kun to av faktorene er negative, vil hele uttrykket bli positivt fordi noe negativt multiplisert med noe negativt er positivt, f.eks. $(-1) \cdot (-2) \cdot 3 \cdot 4 = 24 > 0$
  • Dersom kun tre av faktorene er negative, vil hele uttrykket bli negativt fordi to av de negative til sammen blir positiv, men den tredje ikke har noen negativ partner, f.eks. $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot 4 = -24 < 0$
  • Dersom kun fire av faktorene er negative, vil hele uttrykket bli positivt fordi de negative slår seg sammen parvis og blir positive, f.eks. $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 24 > 0$

Derfor vil et partall antall negative faktorer gi et positivt uttrykk, og et oddetall antall negative faktorer gi et negativt uttrykk.

+ Eksempel: $(x-1)(x-2) > 0$

Uttrykket har to faktorer:

(x-1)(x-2) > 0

Tegner et fortegnsskjema:

De heltrukne linjene viser når uttrykket er større enn null. Dermed blir løsningen av ulikheten:

x < 1 \textnormal{ og } x > 2

Og, vips er vi ferdige.

+ Eksempel: $(x-1)(x-2)/(x-3) > 0$

Uttrykket har tre faktorer:

\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} > 0

Tegner et fortegnsskjema for $f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{x-3}$:

De heltrukne linjene viser når uttrykket er større enn null. Dermed blir løsningen av ulikheten:

x < 1 \textnormal{ og } 2 < x < 3

Og, vips er vi ferdige.

+ Eksempel: $x^2-3x-4 < 0$

Vi vil løse ulikheten med et andre ordens polynom:

x^2 - 3x - 4 < 0

Før vi kan lage et fortegnsskjema, må vi faktorisere uttrykket:

\begin{aligned}
& x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4) \\
\Rightarrow \quad & (x+1)(x-4) < 0
\end{aligned}

Tegner et fortegnsskjema:

De stiplete linjene viser når uttrykket er mindre enn null. Dermed blir løsningen av ulikheten:

-1 < x < 4

Og, vips er vi ferdige.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Polynomer