Algebra: Andregradsligninger

\textcolor{red}{a} x^2 + \textcolor{blue}{b} x + \textcolor{green}{c} = 0

Andregradsformelen:

x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}

Tips:

Du kan gjøre hva du vil i en ligning så sant du gjør det samme på begge sider
Vis fremgangsmåten underveis
Vær oppmerksom på mulige fortegnsfeil
Sjekk svaret

+ Eksempel: Hvordan løses $x^2 + 8x \;-\; 9 = 0$ ved å bruke andregradsformelen?

Den vanligste måten å løse en andregradsligning, er å bruke andregradsformelen (også kalt ABC-formelen):

\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}

Hvis vi vil løse andregradsligningen:

x^2 + \textcolor{blue}{8}x - \textcolor{green}{9} = 0

har vi $\textcolor{red}{a = 1}$, $\textcolor{blue}{b = 8}$ og $\textcolor{green}{c = -9}$ som gir:

x = \frac{-\textcolor{blue}{8} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{8} ^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{(-9)}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}}

Når vi skal regne ut uttrykket, må vi sørge for å bruke riktig regnerekkefølge:

\begin{aligned} x & = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \\ \Rightarrow \quad x & = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \\ \Rightarrow \quad x & = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} \\ \Rightarrow \quad x & = \frac{-8 \pm 10}{2} \\ \Rightarrow \quad x & = \frac{-8}{2} \pm \frac{10}{2} \\ \Rightarrow \quad x & = -4 \pm 5\\ \end{aligned}

Og, vips, har vi to løsnigner: $x = -4-5 = -9$ og $x = -4 + 5 = 1$.

Sjekker svarene ved å sette inn i ligningen:

\begin{array}{rllll} x = \textcolor{green}{-9}: \quad & \textcolor{green}{x}^2 + 8 \textcolor{green}{x} - 9 & = (\textcolor{green}{-9})^2 + 8 \cdot (\textcolor{green}{-9}) - 9 & = 81 - 72 - 9 & = 0 & \textnormal{ ok} \\ x = \textcolor{green}{1}: \quad & \textcolor{green}{x}^2 + 8 \textcolor{green}{x} - 9 & = \textcolor{green}{1}^2 + 8 \cdot \textcolor{green}{1} - 9 & = 1 + 8 - 9 & = 0 & \textnormal{ ok} \end{array}

+ Eksempel: Hvordan løses $x^2 + 8x \;-\; 9 = 0$ ved å danne fullstendig kvadrat?

En måte å løse en andregradsligning er ved å danne fullstendig kvadrat. Da bruker vi kvadratsetningene baklengs:

\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2

Hvis vi vil løse andregradsligningen:

x^2 + 8x - 9= 0

sammenligner vi de to første leddene med første kvadratsetning:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 \\ x^2 + 8x - 9 = \;& \textcolor{red}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{4} - 9 \end{aligned}

som viser at $\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}$ og $\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{4}$. Siste ledd i kvadratsetningen er $\textcolor{blue}{b}^2 = \textcolor{blue}{4}^2$. For å bruke kvaderatsetningen, legger vi derfor til og trekker fra $\textcolor{blue}{4}^2$:

\begin{aligned} & \textcolor{red}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 \\ x^2 + 8x - 9 = \;& \textcolor{red}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 - \textcolor{blue}{4}^2 - 9 \end{aligned}

De to siste leddene er konstanter som kan trekkes sammen:

x^2 + 8x - 9 = \textcolor{red}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 - 25

Nå kan vi bruke første kvadratsetning på de tre første leddene:

\begin{array}{lll} & \textcolor{red}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 & = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2\\ x^2 + 8x - 9 = & \textcolor{red}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 - 25 & = (\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{4})^2 - 25 \end{array}

Nå som var et fullstendig kvadrat, er vi klare til å løse ligningen:

\begin{array}{lrll} & x^2 + 8x - 9 & = 0 \\ \Rightarrow \quad & (x+4)^2 - 25 & = 0 & | + 25 \\ \Rightarrow \quad & (x+4)^2 & = 25 & | \sqrt{\cdot} \\ \Rightarrow \quad & \sqrt{(x+4)^2} & = \pm \sqrt{25} \\ \Rightarrow \quad & x+4 & = \pm 5 & | - 4 \\ \Rightarrow \quad & x & = -4 \pm 5 \end{array}