En kloss ligger i ro på et skråplan. Skråplanets vinkel økes sakte inntil klossen begynner å skli. På dette tidspunktet er skråplanets vinkel 30$^\circ$.
Finn den statiske friksjonskoeffisienten mellom klossen og skråplanet.
Se hint 1
Hint 1: Frem til klossen begynner å gli nedover planet så gjelder Newtons 1. lov. Siden du skal bruke Newtons lover, bør du starte med et frittlegemediagram for klossen.
– Velg positive retninger, f.eks.
$\quad$ … positiv retningen nedover skråplanet
$\quad$ … positiv retning vinkelrett opp fra skråplanet
– Tegn alle krefter som virker på klossen
$\qquad \vec{G} = m\vec{g}$: Tyngdekraften (vertikalt nedover)
$\qquad \vec{N}$: Normalkraften (vinkelrett opp fra skråplanet)
$\qquad \vec{R}$: Friksjonskraften (negativ x-retning, mot bevegelsen)
Se hint 2
Hint 2: Dekomponer tyngdekraften og sett opp Newtons 1. lov i x-retning og y-retning hver for seg.
Tyngdekraften:
G_x = G \sin \theta = mg \sin \theta \\ G_y = G \cos \theta = mg \cos \theta
Siden klossen ligger i ro frem til den begynner å gli, kan vi bruke Newtons 1. lov i både $x$- og $y$-retning:
\begin{aligned}
\textnormal{N1x:} \quad \sum F_x &= 0 \quad \Rightarrow \quad G_x - R = 0\\
\textnormal{N1y:} \quad \sum F_y &= 0 \quad \Rightarrow \quad N - G_y = 0
\end{aligned}Se hint 3
Hint 3: Friksjonskraften, $\vec{R}$, for et statisk system er gitt ved $R = \textcolor{red}{\mu_s} N$, der $\textcolor{red}{\mu_s}$ er den statiske friksjonskoeffisenten og $\vec{N}$ er normalkraften.
Nå kan vi sette inn uttrykkene for friksjonskraften ($R = \textcolor{red}{\mu_s} N$) og tyngdekraften i $x$- og $y$-retning ($G_x = mg \sin \theta$ og $G_y = mg \cos \theta$ i Newtons 1. lov:
\begin{aligned}
\textnormal{N1x:} \quad \sum F_x &= 0 \quad \Rightarrow \quad mg \sin \theta - \textcolor{red}{\mu_s} N = 0\\
\textnormal{N1y:} \quad \sum F_y &= 0 \quad \Rightarrow \quad N - mg \cos \theta = 0
\end{aligned}Se hint 4
Hint 4: Du kan bruke Newtons 1. lov i $y$-retning, for å finne normalkraften, $N$. Rett før klossen begynner å gli, gir Newtons 1. lov i $x$-retning et uttrykk for friksjonskraften, $R$.
Ved å sette $R = \mu_sN$, kan du du nå regne ut friksjonskoeffisenten $\mu_s$.
Løsning
Løsning: Newtons 1. lov i $x$- og $y$-retning gir:
\begin{aligned}
\textnormal{N1x:} \quad & mg \sin \theta - \textcolor{red}{\mu_s} N = 0\\
\textnormal{N1y:} \quad & N - mg \cos \theta = 0
\end{aligned}Newtons 1. lov i $y$-retning gir normalkraften $N = mg \cos \theta$ som vi kan sette inn i Newtons 1. lov i $x$-retning:
\begin{aligned}
mg \sin \theta - \textcolor{red}{\mu_s} mg \cos \theta &= 0 \quad && |\cdot \frac{1}{mg} \\
\sin \theta - \textcolor{red}{\mu_s} \cos \theta &= 0 && | + \textcolor{red}{\mu_s} \cos \theta\\
\textcolor{red}{\mu_s} \cos \theta &= \sin \theta && | \cdot \frac{1}{\cos \theta}\\
\textcolor{red}{\mu_s} &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
\textcolor{red}{\mu_s} &= \tan \theta = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{aligned}Altså er den statiske friksjonskoeffisienten gitt ved $\textcolor{red}{\mu_s} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.