En stabel av bøker ligger på et bord. Tenk deg nå at du flytter stabelen til kanten av bordet slik at stabelen svever delvis i løse luften uten å falle.
Hva er det laveste antall bøker som kan stables oppå hverandre for at ei av bøkene stikker fullstendig utenfor kanten av bordet?
Samtlige bøker skal være lukket, ligge flatt og maksimalt berøre to andre bøker (den under og den over).
Se hint 1
Hint 1: La hver bok ha lengde $L$ og masse $m$. Den øverste boka skal ligge slik at den akkurat ikke vipper av den nestøverste boka, dvs. når ytterkanten av den nestøveste boka er plassert like under massesenteret $x_1$ til den øverste boka.
Se hint 2
Hint 2: Nå som dere vet hvor den øverste boka skal ligge, tenk på de to øverste bøkene som et legeme og finn deres felles massesenter $x_{1-2}$. Så lenge dette massesenteret støttes av bordet eller boka under, vil ikke de to øverste bøkene vippe.
Se hint 3
Hint 3: For å regne ut massesenteret til de to øverste bøkene, må vi først velge et nullpunkt, f.eks. ved ytterkanten av øverste bok.
Massesenteret, $\textcolor{red}{x_{1-2}}$ til systemet av to bøker blir nå:
\begin{aligned}
\textcolor{red}{x_{1-2}} & = \frac{mx_1 + mx_2}{m+m} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-2}} & = \frac{\cancel{m}(x_1 + x_2)}{2\cancel{m}} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-2}} & = \frac{1}{2} (x_1 + x_2)\\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-2}} & = \frac{1}{2} \left(\frac{L}{2} + L\right) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-2}} & = \frac{3L}{4}\\
\end{aligned}Plasserer vi de to bøkene slik at deres felles massesenter ligger rett over bordkanten (eller boka under), får vi et overheng på $\frac{3L}{4} < L$. Dermed er det ikke nok med to bøker.
Se hint 4
Hint 4: Legg systemet av to bøker oppå en ny bok slik at massesenteret til de to bøkene ligger rett over ytterkanten av den tredje boka.
Siden ytterkanten av tredje bok må ligge rett under massesenteret til systemet av to bøker, må massesenteret til den tredje boka, være:
x_3 = x_{1-2} + \frac{L}{2} = \frac{3L}{4} + \frac{L}{2} = \frac{5L}{4}Massesenteret, $\textcolor{red}{x_{1-3}}$ til systemet av tre bøker blir nå:
\begin{aligned}
\textcolor{red}{x_{1-3}} & = \frac{2mx_{1-2} + mx_3}{2m+m} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-3}} & = \frac{\cancel{m}(2x_{1-2} + x_3)}{3\cancel{m}} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-3}} & = \frac{1}{3} (2x_{1-2} + x_3)\\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-3}} & = \frac{1}{3} \left(2 \cdot \frac{3L}{4} + \frac{5L}{4}\right) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-3}} & = \frac{11L}{12}
\end{aligned}Plasserer vi de tre bøkene slik at deres felles massesenter ligger rett over bordkanten (eller boka under), får vi et overheng på $\frac{11L}{12} < L$. Dermed er det ikke nok med tre bøker.
Løsning
Løsning: Legg systemet av tre bøker oppå en ny bok slik at massesenteret til de tre bøkene ligger rett over ytterkanten av den fjerde boka.
Siden ytterkanten av fjerde bok må ligge rett under massesenteret til systemet av tre bøker, må massesenteret til den fjerde boka, være:
x_4 = x_{1-3} + \frac{L}{2} = \frac{11L}{12} + \frac{L}{2} = \frac{17L}{12}Massesenteret, $\textcolor{red}{x_{1-4}}$ til systemet av fire bøker blir nå:
\begin{aligned}
\textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{3mx_{1-3} + mx_4}{3m+m} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{\cancel{m}(3x_{1-3} + x_4)}{4\cancel{m}} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{1}{4} (3x_{1-3} + x_4)\\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{1}{4} \left(3 \cdot \frac{11L}{12} + \frac{17L}{12}\right) \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{1}{4} \cdot \frac{50L}{12} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{red}{x_{1-4}} & = \frac{25L}{24} \\
\end{aligned}Plasserer vi de fire bøkene slik at deres felles massesenter ligger rett over bordkanten, får vi et overheng på $\frac{25L}{24} > L$. Dermed er det nok med fire bøker.