Oppgave: Rulling ned et skråplan

Hint 1: Siden objektene ruller uten å gli, er den totale mekaniske energien, bevart:

E_{\textnormal{tot}}=K + P

$K$ er kinetisk energi og $P$ er potensiell energi. Husk at kinetisk energi også inneholder rotasjonell kinetiske energi.

P =mgh

Siden objektene ruller, må den kinetiske energien både inneholde translatoriske og rotasjonelle kinetiske energi:

K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2

$v$ er hastigheten, $\omega$ er vinkelhastigheten og $I$ er treghetsmomentet til det rullende objektet.

Siden objektet ruller uten å gli, har vi at: $\textcolor{blue}{\omega = \frac{v}{R}}$, der $R$ er radiusen til objektet. Ifølge tabellen over treghetsmomenter kan treghetsmomentet til alle de nevnte objektene skrives som: $\textcolor{green}{I=cmR^2}$, der $c$ er en konstant som er ulik for de ulike objektene. Hvis vi setter inn i uttrykket for kinetisk energi, får vi:

\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\textcolor{green}{I}\textcolor{blue}{\omega}^2 \\
K &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\textcolor{green}{cmR^2} \left(\textcolor{blue}{\frac{v}{R}}\right)^2 \\
K &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\textcolor{green}{cm\cancel{R^2}}\textcolor{blue}{\frac{v^2}{\cancel{R^2}}} \\
K &= \frac{1}{2} (1+c) mv^2
\end{aligned}

Ved å foreløpig bruke konstanten $c$, kan vi beregne den kinetiske energien til samtlige objekter med det samme uttrykket.

Hint 3: Prøv å utlede et uttrykk for hastigheten til de rullende objektene ved bunnen av skråplanet ved hjelp av bevaring av mekanisk energi.

Siden den totale mekaniske energien, $E_{\textnormal{tot}}$, skal være bevart har vi at:

E_{\textnormal{tot}}=K_1+P_1=K_0+P_0

der $K_0$ og $P_0$ henholdsvis er den kinetiske og potensielle energien ved start og $K_1$ og $P_1$ tilsvarende ved bunnen av skråplanet. Siden objektet starter i ro så er $K_0 = 0$. Og siden vi setter nullpunktet ved bunnen av skråplanet så er $P_1 = 0$.

\begin{aligned}
K_1+\underbrace{P_1}_{=0} & = \underbrace{K_0}_{=0}+P_0  \\
\Rightarrow \qquad \frac{1}{2}(1+c)mv_1^2  &= mgh_0
\end{aligned}

Målvariabelen vår er hastigheten ved bunnen av skråplanet, $\textcolor{red}{v_1}$. Derfor isolerer vi den:

\begin{aligned}
\frac{1}{2} (1+c) m\textcolor{red}{v_1}^2 & = mgh_0 \quad &&| \cdot \frac{1}{m} \\
\frac{1}{2} (1+c) \textcolor{red}{v_1}^2 & = gh_0 &&| \cdot \frac{2}{(1+c)} \\
\textcolor{red}{v_1}^2  & = \frac{2gh_0}{(1+c)} && | \sqrt{\cdot} \\
\textcolor{red}{v_1} & = \pm\sqrt{\frac{2gh_0}{(1+c)}} && \textnormal{(}\textcolor{red}{v_1}\textnormal{ må være positiv)} \\
\textcolor{red}{v_1} & = \sqrt{\frac{2gh_0}{(1+c)}} 
\end{aligned}

Objektet med høyest hastighet kommer først ned.

Hint 4: Hva er det som skiller hastigheten til de ulike objektene?

\textcolor{red}{v_1} = \sqrt{\frac{2gh_0}{(1+c)}} 

For samtlige objekter er tyngdeakselerasjonen, $g$, og starthøyden, $h_0$, den samme. Dermed er hastigheten ved bunn av bakken kun avhengig av koeffisienten, $c$, som vi får fra tabellverdiene av treghetsmomentet. Jo lavere $c$, jo raskere hastighet og jo kortere tid bruker objektet på å rull ned skråplanet.

Treghetsmomentene, $I = \textcolor{blue}{c}mR^2$, til de fire objektene i kappløpet er gitt ved:

\begin{aligned}
\textnormal{Solid kule:} \quad I_{SK} & = \textcolor{blue}{\frac{2}{5}} mR^2, \quad && \Rightarrow \quad c_{SK} = \textcolor{blue}{\frac{2}{5}} \\
\textnormal{Solid sylinder:} \quad I_{SS} & = \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} mR^2, && \Rightarrow \quad c_{SS}= \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \\
\textnormal{Hul kule:} \quad I_{HK} & = \textcolor{blue}{\frac{2}{3}} mR^2, && \Rightarrow \quad c_{HK} = \textcolor{blue}{\frac{2}{3}} \\
\textnormal{Hul sylinder:} \quad I_{HS} & = mR^2, && \Rightarrow \quad c_{HS} = \textcolor{blue}{1} \\
\end{aligned}

Dette stemmer godt overens med resultatene av kappløpet, siden: $c_{SK} < c_{SS} < c_{HK} < c_{HS}$.

Løsning: Vi skulle finne ut hvordan det går med en tykkskallet sylinder der den indre radiusen er halvparten av den ytre. Fra tabellene har vi at:

\begin{aligned}
I_{TS} = \frac{1}{2} m (R_i^2 + R^2)
\end{aligned}

der $R_i$ er den indre radiusen. Siden $R_i = \frac{1}{2} R$, så har vi at:

\begin{aligned}
I_{TS} &= \frac{1}{2} m \left(\left(\frac{1}{2} R\right)^2 + R^2\right) \\
\Rightarrow \quad I_{TS} &= \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{4} R^2 + R^2\right) \\
\Rightarrow \quad I_{TS} &= \frac{1}{2} m R^2 \left(\frac{1}{4}  + 1\right) \\
\Rightarrow \quad I_{TS} &= \frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{5}{4} \\
\Rightarrow \quad I_{TS} &= \textcolor{blue}{\frac{5}{8}} m R^2 
\end{aligned}

Dermed er koeffisienten for den tykkskallet sylinderen, $c_{TS} = \frac{5}{8}$, noe som plasserer den mellom den solide sylinderen og den tynnskallede kulen i hastighet ned skråplanet, siden:

c_{TS} = \frac{5}{8} > \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = c_{SS} 

c_{TS} = \frac{5}{8} = \frac{15}{24} < \frac{16}{24} = \frac{2}{3} = c_{HK}

Derfor blir rekkefølgen:

1. Solid kule
2. Solid sylinder
3. Tykkskallet sylinder
4. Tynnskallet kule
5. Tynnskallet sylinder