Hvis du regner ut massesenteret til et system som utsettes for ytre krefter, kan du bruke det når du vil se hvordan systemet beveger seg.
Massesenteret for $n$ partikler med masse $m_n$ i posisjon $x_n$:
\overline{x} = \frac{\sum_{n=1}^N m_n x_n}{\sum_{n=1}^N m_n}$\sum_{n=1}^N m_n$ er den totale massen til systemet.
+ Når er et system i likevekt?
Et system er i likevekt dersom det har støtte under massesenteret sitt.
+ Eksempel: Tvillinger på en vippe og valg av nullpunkt
Oppgave: To tvillinger med masse $m=25$kg sitter på hver sin ene av en masseløs vippe. Vippen er 6 meter lang og begge sitter 1 meter fra enden.
Hvor er massesenteret?
For finne svaret, må vi først velge nullpunkt:
+ Nullpunkt ved starten av vippen
Hvis vi velger nullpunktet ved starten av vippen, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = 1\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 5\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{blue}{1 \textnormal{m}} + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{5 \textnormal{m}}}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{3 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger 3 meter fra starten av vippen, dvs. midt på vippen.
+ Nullpunkt ved første tvilling
Hvis vi velger nullpunktet ved første tvilling, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = 0\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 4\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{blue}{0 \textnormal{m}} + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{4 \textnormal{m}}}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{2 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger 2 meter foran første tvilling, dvs. midt på vippen.
+ Nullpunkt midt på vippen
Hvis vi velger nullpunktet ved midten av vippen, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = -2\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 2\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot (\textcolor{blue}{-2 \textnormal{m}}) + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{2 \textnormal{m}}}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{0 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger midt på vippen.
+ Nullpunkt ved andre tvilling
Hvis vi velger nullpunktet ved andre tvilling, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = -4\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 0\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot (\textcolor{blue}{-4 \textnormal{m}}) + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{0 \textnormal{m}}}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{-2 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger 2 meter før andre tvilling, dvs. midt på vippen.
+ Nullpunkt ved slutten av vippen
Hvis vi velger nullpunktet ved slutten av vippen, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = -5\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = -1\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot (\textcolor{blue}{-5 \textnormal{m}}) + 25 \textnormal{kg} \cdot (\textcolor{red}{-1 \textnormal{m}})}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{-3 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger 3 meter før slutten av vippen, dvs. midt på vippen.
+ Nullpunkt ved slutten av vippen og snudd akse
Hvis vi velger nullpunktet ved slutten av vippen og snur aksen, blir tvillingenes posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = 5\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 1\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m\textcolor{blue}{x_1} + m\textcolor{red}{x_2}}{m + m} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{blue}{5 \textnormal{m}} + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{1 \textnormal{m}}}{25\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{3 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger 3 meter fra slutten av vippen i positiv retning, dvs. midt på vippen.
+ Eksempel: Massesenter på en vippe
Oppgave: En voksen ($m_1 = 75$kg) og et barn ($m_2 = 25$kg) sitter på på hver sin ende av en masseløs vippe. Vippen er 6 meter lang og begge sitter 1 meter fra enden.
Hvor er massesenteret?
Svar: Hvis vi velger nullpunktet ved starten av vippen, blir den voksne og barnets posisjon:
\textcolor{blue}{x_1 = 0\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 4\textnormal{m}}som gir massesenteret:
\begin{aligned}
& \overline{x} = \frac{m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2}}{m_1 + m_2} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \frac{75 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{blue}{0 \textnormal{m}} + 25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{4 \textnormal{m}}}{75\textnormal{kg} + 25 \textnormal{kg}} \\
\Rightarrow \quad & \overline{x} = \textcolor{green}{1 \textnormal{m}}
\end{aligned}Massesenteret ligger en meter foran den voksne, dvs. midt mellom den voksne og bukken. Dermed vil den voksne vippe ned, barnet opp og der vil de forbli.
+ Eksempel: En voksen og et barn i likevekt på en vippe
Oppgave: En voksen ($m_1 = 75$kg) og et barn ($m_2 = 25$kg) sitter på på hver sin ende av en masseløs vippe. Vippen er 6 meter lang. Barnet sitter 1 meter fra enden.
Hvor må den voksne sitte for at vippen skal være i likevekt?
Svar: Hvis vippen skal være i likevekt, må vi derfor plassere den voksne slik at massesenteret havner ved bukken.
Hvis vi velger nullpunktet ved bukken, blir massesenteret, den voksne og barnets posisjon:
\textcolor{green}{\overline{x} = 0\textnormal{m}}, \; \textcolor{blue}{x_1 = ?} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{red}{x_2 = 2\textnormal{m}}Formelen for massesenteret:
\begin{aligned}
\textcolor{green}{\overline{x}} &= \frac{\sum_{n=1}^N m_n x_n}{\sum_{n=1}^N m_n} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{green}{\overline{x}} &= \frac{m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2}}{m_1 + m_2}
\end{aligned}Eneste ukjente er posisjonen til den voksne, $\textcolor{blue}{x_1}$. Setter $\textcolor{green}{\overline{x} = 0 \textnormal{m}}$ og rydder i ligningen:
\begin{aligned}
& \textcolor{green}{0} = \frac{m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2}}{m_1 + m_2} \qquad && \big| \cdot (m_1 + m_2) \\
\Rightarrow \quad & 0 = m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2} && \big| -m_1 \textcolor{blue}{x_1} \\
\Rightarrow \quad & - m_1 \textcolor{blue}{x_1} = m_2\textcolor{red}{x_2} && \big| \cdot \left( - \frac{1}{m_1} \right) \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} = -\frac{m_2 \textcolor{red}{x_2}}{m_1} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} = - \frac{25 \textnormal{m} \cdot \textcolor{red}{2\textnormal{m}}}{75 \textnormal{m}} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} \approx - 0.67 \textnormal{m}
\end{aligned}Den voksne må sitte 0.67 meter fra bukken for at vippen skal være i likevekt.
+ Eksempel: En voksen og to barn i likevekt på en vippe
Oppgave: En voksen ($m_1 = 75$kg) sitter på den ene vippen og to barn ($m_2 = m_3 = 25$kg) sitter på den andre enden av en masseløs vippe. Vippen er 6 meter lang. Det ene barnet sitter 1 meter fra enden og det andre helt på enden.
Hvor må den voksne sitte for at vippen skal være i likevekt?
Svar: Hvis vippen skal være i likevekt, må vi derfor plassere den voksne slik at massesenteret havner ved bukken.
Hvis vi velger nullpunktet ved bukken, blir massesenteret, den voksne og barnets posisjon:
\textcolor{green}{\overline{x} = 0\textnormal{m}}, \; \textcolor{blue}{x_1 = ?}, \; \textcolor{red}{x_2 = 2\textnormal{m}} \; \textnormal{ og } \; \textcolor{purple}{x_2 = 3\textnormal{m}}Formelen for massesenteret:
\begin{aligned}
\textcolor{green}{\overline{x}} &= \frac{\sum_{n=1}^N m_n x_n}{\sum_{n=1}^N m_n} \\
\Rightarrow \quad \textcolor{green}{\overline{x}} &= \frac{m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2} + m_3 \textcolor{purple}{x_3}}{m_1 + m_2 + m_3}
\end{aligned}Eneste ukjente er posisjonen til den voksne, $\textcolor{blue}{x_1}$. Setter $\textcolor{green}{\overline{x} = 0 \textnormal{m}}$ og rydder i ligningen:
\begin{aligned}
& \textcolor{green}{0} = \frac{m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2} + m_3 \textcolor{purple}{x_3}}{m_1 + m_2 + m_3} \qquad && \big| \cdot (m_1 + m_2 + m_3) \\
\Rightarrow \quad & 0 = m_1\textcolor{blue}{x_1} + m_2\textcolor{red}{x_2} + m_3\textcolor{purple}{x_3} && \big| -m_1 \textcolor{blue}{x_1} \\
\Rightarrow \quad & - m_1 \textcolor{blue}{x_1} = m_2\textcolor{red}{x_2} + m_3\textcolor{purple}{x_3} && \big| \cdot \left( - \frac{1}{m_1} \right) \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} = -\frac{m_2 \textcolor{red}{x_2} + m_3 \textcolor{purple}{x_3}}{m_1} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} = - \frac{25 \textnormal{kg} \cdot \textcolor{red}{2\textnormal{m}} + 25\textnormal{kg} \cdot \textcolor{purple}{3\textnormal{m}}}{75 \textnormal{m}} \\
\Rightarrow \quad & \textcolor{blue}{x_1} \approx - 1.67 \textnormal{m}
\end{aligned}Den voksne må sitte 1.67 meter fra bukken for at vippen skal være i likevekt.
+ Eksempel: Massesenter i to dimensioner
Oppgave: Finn massesenteret til følgende tre masser:
- $m_1 = 1$kg i posisjon $(x_1,y_1) = (1,2)$m
- $m_2 = 2$kg i posisjon $(x_2,y_2) = (3,1)$m
- $m_3 = 3$kg i posisjon $(x_3,y_3) = (4,4)$m
Svar: For å finne massesenteret i to dimensjoner, ser vi på en dimensjon om gangen:
\overline{x} = \frac{\sum_{n=1}^{3} m_nx_n}{\sum_{n=1}^3 m_n} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \approx 3.17 \textnormal{m} \\
\overline{y} = \frac{\sum_{n=1}^{3} m_ny_n}{\sum_{n=1}^3 m_n} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \approx 2.67 \textnormal{m} Massesenteret ligger i $(\overline{x},\overline{y}) = (3.17,2.67)$m.