Mekanikk: Bevegelsesligningene

Dersom akselerasjonen er konstant, har vi fire nydelige bevegelsesligninger:

\begin{aligned}
& \textnormal{Posisjonsløs:} \qquad & v &= v_0 + at \\
& \textnormal{Fartsløs:} \qquad & x &= x_0 + v_0t + \frac{1}{2} a t^2\\
& \textnormal{Tidsløs:} \qquad & v^2  &= v_0^2 + 2ax \\
& \textnormal{Akselerasjonsløs:} \qquad & x - x_0 &= \frac{1}{2}(v - v_0) t
\end{aligned}
  • $x_0$ er posisjonen ved start ($t_0 = 0$s) og $x$ er posisjonen ved tid $t$
  • $v_0$ er hastigheten ved start ($t_0=0$s) og $v$ er hastigheten ved tid $t$
  • $a$ er akselerasjonen.

+ Eksempel: Hvilken hastighet har en bil når den akselererer?

Oppgave: En bil akselererer fra null til 20 m/s på 5.0 sekunder. Hvilken akselerasjon har bilen i gjennomsnitt?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv i retningen bilen kjører
$\quad$ … nullpunkt der bilen starter
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad t_0 = 0.0$s (tiden ved start)
$\qquad t_1 = 5.0$s (tiden bilen akselererer)
$\qquad v_0 = 0.0$m/s (starthastighet)
$\qquad v_1 = 20$m/s (hastighet etter 5.0 sekunder)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{a =?}$ (akselerasjonen)

Bevegelsesligning: Siden vi har tiden ($t$) og hastighetene ($v_0$ og $v_1$), og ønsker akselerasjonen ($\textcolor{red}{a}$), kan vi bruke den posisjonsløse bevegelsesligningen:

v = v_0 + \textcolor{red}{a}t

Utregning: Først forenkler vi ligningen.

\begin{aligned}
\underbrace{v}_{=v_1} &= \underbrace{v_0}_{=0} + \textcolor{red}{a}\underbrace{t}_{=t_1} \\
\Rightarrow \quad v_1 &= \textcolor{red}{a}t_1
\end{aligned}

Dette er en ligning vi enkelt kan løse:

\textcolor{red}{a} = \frac{v_1}{t_1} = \frac{20\textnormal{m/s}}{5.0 \textnormal{s}} = 4.0 \textnormal{m/s}^2
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\frac{\textnormal{m/s}}{\textnormal{s}} = \textnormal{m/s}^2$.

Konklusjon: Den gjennomsnittlige akselerasjonen er 4.0 m/s$^2$.

+ Eksempel: Hvor langt har en bil kjørt mens den akselererer i fem sekunder?

Oppgave: En bil starter i ro og akselererer med 4.0m/s$^2$. Hvor langt har den kjørt de første fem sekundene?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv i retningen bilen kjører
$\quad$ … nullpunkt der bilen starter
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad t_0 = 0.0$s (tiden ved start)
$\qquad t_1 = 5.0$s (tiden bilen akselererer)
$\qquad x_0 = 0.0$m (startposisjon)
$\qquad v_0 = 0.0$m/s (starthastighet)
$\qquad a = 4.0$m/s$^2$ (akselerasjon)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{x_1 =?}$ (posisjon 5.0 sekunder)

Bevegelsesligning: Siden vi har tiden ($t$) og akselerasjonen ($a$), og ønsker strekningen ($\textcolor{red}{x_1}$), kan vi bruke den fartsløse bevegelsesligningen ved tid $t=t_1$:

\textcolor{red}{x_1} = x_0 + v_0t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2

Utregning: Her har vi kun kjente størrelser på høyre side og målvariabelen vår på venstre side. Derfor er vi klare til å sette inn størrelsene.

\textcolor{red}{x_1} = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 4.0 \textnormal{m/s}^2 \cdot (5.0 \textnormal{s})^2 = 50 \textnormal{m}
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\textnormal{m/s}^2 \cdot \textnormal{s}^2 = \textnormal{m}$.

Konklusjon: Bilen har kjørt 50 meter mens den akselererer.

+ Eksempel: Hvor langt har en bil kjørt mens den akselererer til 20m/s?

Oppgave: En bil starter i ro og akselererer med 4.0m/s$^2$. Hvor langt har den kjørt før den når en hastighet på 20m/s?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv i retningen bilen kjører
$\quad$ … nullpunkt der bilen starter
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad t_0 = 0.0$s (tiden ved start)
$\qquad x_0 = 0.0$m (startposisjon)
$\qquad v_0 = 0.0$m/s (starthastighet)
$\qquad v_1 = 20$m/s (slutthastighet)
$\qquad a = 4.0$m/s$^2$ (akselerasjon)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{x_1 =?}$ (sluttposisjon)

Bevegelsesligning: Siden vi har hastighetene ($v_0$ og $v_1$) og akselerajsonen ($a$), og ønsker strekningen ($\textcolor{red}{x_1}$), kan vi bruke den tidsløse bevegelsesligningen:

v_1^2  = v_0^2 + 2a\textcolor{red}{x_1}

Utregning: Her har vi kun kjente størrelser bortsett fra posisjonen $x_1$. Først forenkler vi ligningen.

v_1^2  = \underbrace{v_0^2}_{=0} + 2a\textcolor{red}{x_1}

Dette er en ligning vi enkelt kan løse:

\begin{aligned}
2a \textcolor{red}{x_1} & = v_1^2 && | \cdot \frac{1}{2a} \\
\textcolor{red}{x_1} &= \frac{v_1^2}{2a} = \frac{(20 \textnormal{m/s})^2}{2 \cdot 4.0 \textnormal{m/s}^2} =  50 \textnormal{m} 
\end{aligned}
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\frac{\textnormal{(m/s)}^2}{\textnormal{m/s}^2} = \textnormal{m}$.

Konklusjon: Bilen har kjørt 50 meter mens den akselererer.

+ Eksempel: Hvor langt ned faller et eple på fire sekunder?

Oppgave: Et eple faller fra ro i 4.0 sekunder før det treffer bakken. Fra hvilken høyde startet fallet når luftmotstanden neligsjeres?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv nedover
$\quad$ … nullpunkt der eplet starter fallet
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad t = 4.0$s (tiden før eplet treffer bakken)
$\qquad x_0 = 0$ (nullpunkt er valgt der eplet starter fallet)
$\qquad v_0 = 0$ (eplet er i ro når fallet starter)
$\qquad a = g = 9.81$m/s$^2$ (farten øker nedover og luftmotstand neglisjeres)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{x = h =?}$ (høyden på fallet)

(PS: Hvis du velger positiv retning oppover og nullpunkt ved bakken, blir $x = 0$, $a = -g$ og ny målvariabel $x_0 = h$, . Prøv gjerne det etterpå.)

Bevegelsesligning: Siden vi har tiden ($t$) og akselerasjonen ($a$), og ønsker posisjonen ($\textcolor{red}{x}$), kan vi bruke den fartsløse bevegelsesligningen:

\textcolor{red}{x} = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t

Utregning: Her har vi kun kjente størrelser på høyre side og målvariabelen vår på venstre side. Derfor er vi klare til å sette inn størrelsene. 

\textcolor{red}{x} = 0 + 0 \cdot 4.0 \textnormal{s} + \frac{1}{2} \cdot 9.81 \textnormal{m/s}^2 \cdot (4.0 \textnormal{s})^2 \approx 78.5 \textnormal{m}
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\textnormal{m/s}^2 \cdot\textnormal{s}^2 = \textnormal{m}$.

Konklusjon: Eplet har falt ca. 79 meter.

+ Eksempel: Hvor lang tid tar et fall på 20 meter?

Oppgave: Et eple faller fra en høyde på 20 meter. Hvor lang tid tar fallet når luftmotstanden neglisjeres?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv nedover
$\quad$ … nullpunkt der eplet starter fallet
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad x_0 = 0$ (nullpunkt er valgt der eplet starter fallet)
$\qquad x = h = 20$m (høyden på fallet)
$\qquad v_0 = 0$ (eplet er i ro når fallet starter)
$\qquad a = g = 9.81$m/s$^2$ (farten øker nedover og luftmotstand neglisjeres)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{t = ?}$ (tiden før eplet treffer bakken)

Bevegelsesligning: Siden vi har posisjonene ($x_0 $ og $x$) og akselerasjonen ($a$), og ønsker tiden ($\textcolor{red}{t}$), kan vi bruke den fartsløse bevegelsesligningen:

x = x_0 + v_0\textcolor{red}{t} + \frac{1}{2} a \textcolor{red}{t}^2

Utregning: Først forenkler vi ligningen.

\begin{aligned}
\underbrace{x}_{= h} & = \underbrace{x_0}_{=0m} + \underbrace{v_0}_{=0m/s}\textcolor{red}{t} + \frac{1}{2} \underbrace{a}_{=g} \textcolor{red}{t}^2 \\
\Rightarrow \qquad h & = \frac{1}{2} g \textcolor{red}{t}^2
\end{aligned}

Dette er en andregradsligning som vi greit kan løse ved å rydde litt:

\begin{aligned}
&&  \frac{1}{2} g \textcolor{red}{t}^2 & = h \quad && \Big| \cdot \frac{2}{g} \\
\Rightarrow && \textcolor{red}{t}^2 & = \frac{2h}{g} && | \sqrt{\cdot} \\
\Rightarrow && \textcolor{red}{t} & = \pm \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}

Nå har vi kun kjente størrelser på høyre side og målvariabelen vår på venstre side. Derfor er vi klare til å sette inn størrelsene. 

\textcolor{red}{t} = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \textnormal{m}}{9.81 \textnormal{m/s}^2}} \approx \pm \;2.0 \textnormal{s}
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Tiden må være positiv. (Den negative tiden er tiden det ville tatt fra eplet skytes fra bakken og opp til høyden $h$, men det er ikke relevant her.)
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\sqrt{\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{m/s}^2}} = \sqrt{\textnormal{s}^2} = \textnormal{s}$.

Konklusjon: Eplet treffer bakken etter ca. 2.0 sekunder.

+ Eksempel: Hvilken hastighet får eplet hvis det slippes fra 20 meter?

Oppgave: Et eple faller fra en høyde på 20 meter. Hvilken hastighet har eplet når det treffer bakken dersom luftmotstanden neglisjeres?

Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv nedover
$\quad$ … nullpunkt der eplet starter fallet
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad x_0 = 0$ (nullpunkt er valgt der eplet starter fallet)
$\qquad x = h = 20$m (høyden på fallet)
$\qquad v_0 = 0$ (eplet er i ro når fallet starter)
$\qquad a = g = 9.81$m/s$^2$ (farten øker nedover og luftmotstand neglisjeres)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{v = ?}$ (hastigheten når eplet treffer bakken)

Bevegelsesligning: Siden vi har posisjonene ($x_0 $ og $x$) og akselerasjonen ($a$), og ønsker hastigheten ($\textcolor{red}{v}$), kan vi bruke den tidløse bevegelsesligningen:

\textcolor{red}{v}^2 = v_0^2 + 2ax

Utregning: Først forenkler vi ligningen.

\begin{aligned}
\textcolor{red}{v}^2 & = \underbrace{v_0^2}_{= 0}  + 2 \underbrace{a}_{=g} \underbrace{x}_h\\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{v}^2 & = 2 g h
\end{aligned}

Dette er en andregradsligning som vi greit kan løse ved å ta kvadratroten på begge sider:

\textcolor{red}{v} = \pm \sqrt{2gh}

Nå har vi kun kjente størrelser på høyre side og målvariabelen vår på venstre side. Derfor er vi klare til å sette inn størrelsene. 

\textcolor{red}{v} = \pm \sqrt{2 \cdot 9.81 \textnormal{m/s}^2 \cdot 20 \textnormal{m}}  \approx \pm \;19.8 \textnormal{m/s}
  • Antall gjeldende siffer i oppgitte størrelser, er to. Derfor må vi ha to gjeldende siffer i svaret.
  • Hastigheten må være nedover (dvs. i positiv retning). Den negative hastigheten er i negativ retning (dvs. oppover) og er den hastigheten eplet ville hatt hvis det skytes fra bakken og opp til høyden $h$, men det er ikke relevant her.
  • Legg merke til at enhetsanalyse gir $\sqrt{\textnormal{m/s}^2 \cdot\textnormal{m}} = \sqrt{\textnormal{(m/s)}^2} = \textnormal{m/s}$.

Konklusjon: Eplet treffer bakken med en hastighet på ca. 20 m/s.

← Fysikk

↓ Oppgaver

→ Hastighet