Gjennomsnittlig akselerasjon fra hastighet $v_0$ til $v_1$ over et tidsrom $\triangle t = t_1 – t_0$:
\overline{a} = \frac{v_1 - v_0}{\triangle t}Momentan akselerasjon er akselerasjonen på et gitt tidspunkt, dvs. over et infinitesimalt lite tidsrom:
a = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{v_1 - v_0}{\triangle t}- Hvis du sammenligner med definisjonen av den deriverte, ser du at akselerasjon er den deriverte av hastighet, dvs. $a(t) = v’(t)$.
- Siden hastighet er den deriverte av posisjon, $v(t) = x’(t)$, blir akselerasjon den dobbelt deriverte av posisjon, dvs. $a(t) = v’’(t)$.
+ Eksempel: Hvilken akselerasjonen har bilen fra 0 til 100?
Oppgave: En bil går fra 0 til 100km/t på 3.0 sekunder. Hvilken akselerasjon har bilen?
Arbeidstegning:
– Velg positiv retning og nullpunkt, f.eks.
$\quad$ … positiv i retningen bilen kjører
$\quad$ … nullpunkt der bilen starter
– Tegn inn alle kjente størrelser
$\qquad t_0 = 0.0$s (tiden ved start)
$\qquad t_1 = 3.0$s (tiden bilen akselererer)
$\qquad v_0 = 0.0$km/t (hastighet ved start)
$\qquad x_1 = 100$km/t (hastighet etter 3.0 sekunder)
– Tegn inn målvariabelen
$\qquad \textcolor{red}{a =?}$ (akselerasjon)
Svar: Den gjennomsnittlige akselerasjonen er:
\textcolor{red}{\bar{a}} = \frac{v_1 - v_0}{t_1 - t_0} = \frac{100\textnormal{km/t} - 0}{3.0\textnormal{s} - 0}Her må vi passe på enhetene. Siden 1km = 1000m og 1t = 3600s, får vi:
\textnormal{km/t} = \frac{1 \textnormal{km}}{1 \textnormal{t}} = \frac{1000 \textnormal{m}}{3600 \textnormal{s}} = \frac{1}{3.6} \textnormal{m/s}som gir:
\textcolor{red}{\bar{a}} = \frac{100\textnormal{km/t} }{3.0\textnormal{s} } = \frac{100 \cdot \frac{1}{3.6} \textnormal{m/s}}{3.0 \textnormal{s}} \approx 9.3 \textnormal{m/s}^2- Legg merke til at enhetsanalyse gir $\frac{\textnormal{m/s}}{\textnormal{s}} = \textnormal{m/s}^2$.
Konklusjon: Den gjennomsnittlige akselerasjonen er 9.3m/s$^2$, dvs. farten øker med 9.3m/s hvert sekund.