Matriser og egenverdiproblemer: Markovkjeder

Hvordan finner vi generell løsning til Markovkjeder?

Publisert 3. november 2023
Sist oppdatert 27. februar 2026

La $\vec{x}_{k+1} = A\vec{x}_k$ være et dynamisk system med en $n \times n$ overgangsmatrise $A$ med $n$ lineært uavhengige egenvektorer. Da er den generelle løsningen for tilstandsvektor $\vec{x}_k$ gitt ved

$$\vec{x}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{v}_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k \vec{v}_n$$

$c_i$ er konstanter som ofte bestemmes av startbetingelsen
$\lambda_i$ er egenverdier (alle ligger mellom -1 og 1, og minst én av egenverdiene er nøyaktig 1)
$\vec{v}_i$ er egenvektoren til $\lambda_i$.