icon
Kunnskapsgnist
Logg inn
MattenøttMatematikkFysikk
Våre apper ▾
Om oss⌕

Matriser og egenverdiproblemer: Egenverdier og egenvektorer

Oppgaver med egenverdier

Publisert 1. november 2023
Sist oppdatert 6. august 2026

Velg type oppgaver:

Vis kun løste/uløste oppgaver

Antall oppgaver: 38

Tips 1: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.

Tips 2: Løs oppgavene du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.

Tips 3: Finner du feil? Vi setter stor pris på at du melder inn feil via lenken nederst til venstre.

Tips 4: Logg inn (gratis) for å lagre hvilke oppgaver du har løst.

Tips 5: Du kan se de hint og løsningsforslag for de første 3 oppgavene. Abonner for å få tilgang til alle hint og løsningsforslag.


Oppgave 1

Gitt en vektor og en matrise:

$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$$
  1. Regn ut $A\vec{v}$.
  2. Beskriv hva $A$ gjør med vektor $\vec{v}$.
Oppgave 2

Gitt en vektor og en matrise:

$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ 3 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
  1. Regn ut $A\vec{v}$.
  2. Beskriv hva $A$ gjør med vektor $\vec{v}$.
Oppgave 3

En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$. Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at den transformerte vektoren $\vec{w}$ peker i samme retning som $\vec{v}$, og er dobbelt så lang som $\vec{v}$.

Oppgave 4

En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$. Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at den dobler første element og gir motsatt fortegn til andre element.

Oppgave 5

En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$. Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at første og andre element i $\vec{v}$ bytter plass i den transformerte vektoren $\vec{w}$.

Oppgave 6

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right)$$
  1. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
  2. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
Oppgave 7

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
  2. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
Oppgave 8

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)$$
  1. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
  2. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
Oppgave 9

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
  2. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$? Finn i så fall tilhørende egenverdi.
Oppgave 10

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 11

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 12

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 13

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 14

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 15

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 16

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 17

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 18

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
Oppgave 19

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= -3, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= 2, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
  3. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  4. Regn ut $A^{4}$.
Oppgave 20

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= 1, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= 5, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
  3. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  4. Regn ut $A^{4}$.
Oppgave 21

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= -i, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 2-i \\ 1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= i, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
Oppgave 22

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= 0, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= 2, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
  3. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  4. Regn ut $A^{7}$.
Oppgave 23

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$ har følgende egenverdi med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda &= 2, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
  3. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  4. Regn ut $A^{6}$.
Oppgave 24

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= 3-2i, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1-2i \\ -1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= 3+2i, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1+2i \\ -1 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
Oppgave 25

Matrisen $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$ har følgende egenverdi med tilhørende egenvektor:

$$ \begin{aligned} \lambda &= 2, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
Oppgave 26

Matrisen $A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= 2, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} -5 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= -2, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \\ \lambda_3 &= 6, && \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
Oppgave 27

Matrisen $A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$ har følgende egenverdier med tilhørende egenvektorer:

$$ \begin{aligned} \lambda_1 &= 3, && \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ \lambda_2 &= 2, && \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -5 \end{array} \right) \end{aligned} $$
  1. Kan $A$ diagonaliseres?
  2. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A=PDP^{-1}$.
Oppgave 28

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 7 & 4 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^5$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 29

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & -3 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^6$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 30

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^3$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 31

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^6$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 32

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^8$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 33

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^7$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 34 ★★

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -5 & 4 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 35

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^2$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 36

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.
  5. Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer.
  6. Regn ut $A^6$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 37

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 7 & 3 & 4 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Oppgave 38

Gitt en matrise:

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
  1. Finn egenverdien(e) til $A$.
  2. Finn egenvektorer til hver egenverdi.
  3. Kan $A$ diagonaliseres?
  4. Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$.

Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.

Matematikk
Hva er en vektortransformasjon?
Hva er en egenvektor?
Hvordan finne egenverdier og egenvektorer?
Diagonalisering
Lineært uavhengige vektorer
📩 Send ønske 📩
👍🏼 Ros og ris 👎🏼
🛠️ Meld feil 🛠️
Logg inn
Symboler:
For abonnenter
★ Utfordring ★
Interaktiv
Dypdykk Dypdykk Dypdykk
☰ Metode ☰
Bonus Bonus Bonus
Video Video Video

@ 2026 Kunnskapsgnist.no AS (org. nr. 936205380)

Lisensvilkår og personvernerklæring