Når vi faktorisere et tall, skriver vi det som produktet av to eller flere andre tall kalt faktorer:
Vi kan faktorisere et polynom:
\textcolor{red}{a} x^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2) der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0$.
+ Eksempel 1: Faktoriser 12
For å finne faktorene, kan vi først se at 12 er et partall og derfor delelig på 2:
\frac{12}{2} = 66 er også et partall og derfor delelig på 2:
\frac{6}{2} = 33 er et primtall og derfor ikke delelig på noe. Dermed har vi faktorene til 12:
12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
Og, vips, har vi faktorisert.
+ Eksempel 2: Faktoriser $12x$
$12x$ er delelig på $x$:
\frac{12x}{x} = 12Faktorene til 12 fant vi i forrige eksempel:
12x = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x
Og, vips, har vi faktorisert $12z$.
+ Eksempel 3: Faktoriser $ax + x$
$ax + x$ er delelig på $x$ siden begge ledd er delelig på $x$:
\frac{ax + x}{x} = \frac{ax}{x} + \frac{x}{x} = a + 1Dermed kan vi faktorisere $ax + x$:
ax + x = x(a + 1)
Og, vips, har vi faktorisert.
+ Eksempel 4: Faktoriser $x^2 + 8x – 9$
For å faktorisere et andregradsuttrykk, må vi først sette uttrykket lik null:
x^2 + \textcolor{blue}{8}x - \textcolor{green}{9} = 0Dette er en andregradsligning som vi kan bruke andregradsformelen på:
\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}Her har vi $\textcolor{red}{a = 1}$, $\textcolor{blue}{b = 8}$ og $\textcolor{green}{c = -9}$ som gir:
\begin{aligned}
x & = \frac{-\textcolor{blue}{8} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{8} ^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{(-9)}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad x & = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} \\
\Rightarrow \quad x & = \frac{-8 \pm 10}{2} \\
\Rightarrow \quad x & = -4 \pm 5\\
\Rightarrow \quad \!\! x_1 & = -4-5 = -9 \textnormal{ og } x_2 = -4 + 5 = 1
\end{aligned}Nå kan vi bruke løsningene til å faktorisere
x^2 + 8x - 9 = a(x-x_1)(x-x_2) = (x+9)(x-1)
Og, vips, har vi faktorisert.
Vi kan sjekke svaret med å multiplisere:
(x+9)(x-1) = x(x-1) + 9(x-1) = x^2 - x + 9x -9 = x^2 + 8x - 9
Ok
+ Eksempel 5: Faktoriser $x^2 – 3x – 4$
For å faktorisere et andregradsuttrykk, må vi først sette uttrykket lik null:
x^2 \textcolor{blue}{-3}x \textcolor{green}{-4} = 0Dette er en andregradsligning som vi kan bruke andregradsformelen på:
\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}Her har vi $\textcolor{red}{a = 1}$, $\textcolor{blue}{b = -3}$ og $\textcolor{green}{c = -4}$ som gir:
\begin{aligned}
x & = \frac{-\textcolor{blue}{(-3)} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{(-3)}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{(-4)}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad x & = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \\
\Rightarrow \quad x & = \frac{3 \pm 5}{2} \\
\Rightarrow \quad \!\! x_1 & = \frac{3-5}{2} = -1 \textnormal{ og } x_2 = \frac{3+5}{2} = 4
\end{aligned}Nå kan vi bruke løsningene til å faktorisere
x^2 - 3x - 4 = a(x-x_1)(x-x_2) = (x+1)(x-4)
Og, vips, har vi faktorisert.
Vi kan sjekke svaret med å multiplisere:
(x+1)(x-4) = x(x-4) + 1(x-4) = x^2 - 4x + x -4 = x^2 - 3x - 4
Ok
+ Eksempel 6: Faktoriser $3x^2 + 6x + 3$
For å faktorisere et andregradsuttrykk, må vi først sette uttrykket lik null:
\textcolor{red}{3}x^2 + \textcolor{blue}{6}x + \textcolor{green}{6} = 0Dette er en andregradsligning som vi kan bruke andregradsformelen på:
\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}Her har vi $\textcolor{red}{a = 3}$, $\textcolor{blue}{b = 6}$ og $\textcolor{green}{c = 3}$ som gir:
\begin{aligned}
& x = \frac{-\textcolor{blue}{6} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{red}{3}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-6 \pm 0}{6} \\
\Rightarrow \quad & x_{1,2} = -1
\end{aligned}Her har vi sammenfallende løsninger slik at både $x_1$ og $x_2$ er lik $-1$:
\textcolor{red}{3}x^2 + 6x + 3= \textcolor{red}{a}(x-x_1)(x-x_2) = \textcolor{red}{3}(x+1)^2Og, vips, har vi faktorisert.
Vi kan sjekke svaret med å multiplisere ved hjelp av første kvadratsetning:
3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3
Ok
+ Eksempel 7: Faktoriser $x^3 – 3x^2 – x + 3$
For å faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi først sette uttrykket lik null:
x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0
Siden dette er et tredjegradsligning, har vi ingen formel, men hvis vi kan finne en løsning, kan vi redusere det til en andregradsligning som vi kan bruke andregradsformelen på.
Vi må prøve oss frem med noen enkle tall (f.eks. $0, 1, -1, 2, -2, \cdots$)
x = 0: \quad 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 0 + 3 = 3 \\ x = 1: \quad 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 + 3 = 0
Siden $x =1$ er en løsning, vet vi at uttrykket er delelig på $(x-1)$. Bruker polynomdivisjon:
\begin{aligned}
& (x^3 - 3x^2 - x + 3 ) : ( x - 1) = x^2 - 2x - 3 \\
-& \underline{(x^3 - x^2)} \\
& \quad \; -2x^2 - x \\
-& \quad \underline{(-\:2x^2 + 2x)} \\
& \qquad \quad \;\;\; - 3x + 3 \\
-& \qquad \quad \;\;\: \underline{(-3x + 3)} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad \; 0
\end{aligned}Nå vet vi at:
x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x-1)(x^2 - 2x -3)
Nå vil vi finne $x^2-2x-3 = 0$ ved hjelp av andregradsformelen:
\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}Her har vi $\textcolor{red}{a = 1}$, $\textcolor{blue}{b = -2}$ og $\textcolor{green}{c = -3}$ som gir:
\begin{aligned}
& x = \frac{-\textcolor{blue}{(-2)} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{(-2)}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{(-3)}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{2 \pm 4}{2} \\
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \textnormal{ og } x_2 = \frac{2+4}{2} = 3
\end{aligned}Dermed har vi:
\begin{aligned}
x^2 - 2x - 3 &= (x+1)(x-3) \\
\Rightarrow \quad x^3 - 3x^2 - x + 3 &= (x-1)(x+1)(x-3)
\end{aligned}Og, vips, har vi faktorisert.
Vi kan sjekke svaret med å multiplisere (f.eks. ved å bruke tredje kvadratsetning):
\begin{aligned}
(x-1)(x+1)(x-3) &= (x^2 - 1)(x-3) \\
&= (x^2 - 1)x + (x^2 - 1)\cdot (-3) \\
& = x^3 - x - 3x^2 + 3
\end{aligned}Ok
+ Eksempel 7: Faktoriser $x^3 + 2x^2 – x – 2$
For å faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi først sette uttrykket lik null:
x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0
Siden dette er et tredjegradsligning, har vi ingen formel, men hvis vi kan finne en løsning, kan vi redusere det til en andregradsligning som vi kan bruke andregradsformelen på.
Vi må prøve oss frem med noen enkle tall (f.eks. $0, 1, -1, 2, -2, \cdots$)
\begin{aligned}
x = 0: & \quad 0^3 + 2 \cdot 0^2 - 0 -2 = -2 \\
x = 1: & \quad 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 - 2 = 0
\end{aligned}Siden $x =1$ er en løsning, vet vi at uttrykket er delelig på $(x-1)$. Bruker polynomdivisjon:
\begin{aligned}
& (x^3 + 2x^2 - x - 2 ) : ( x - 1) = x^2 + 3x + 2 \\
-& \underline{(x^3 - \;\: x^2)} \\
& \qquad \;\; 3x^2 - x \\
-& \qquad \underline{(3x^2 -3x)} \\
& \qquad \qquad \;\;\; 2x - 2 \\
-& \qquad \qquad \;\: \underline{(2x - 2)} \\
& \qquad \qquad \qquad \quad \; 0
\end{aligned}Nå vet vi at:
x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x^2 + 3x +2)
Nå vil vi finne $x^2+3x+2 = 0$ ved hjelp av andregradsformelen:
\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b} ^2 - 4 \textcolor{red}{a} \textcolor{green}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}Her har vi $\textcolor{red}{a = 1}$, $\textcolor{blue}{b = 3}$ og $\textcolor{green}{c = 2}$ som gir:
\begin{aligned}
& x = \frac{-\textcolor{blue}{3} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{red}{1}} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \\
\Rightarrow \quad & x = \frac{-3 \pm 1}{2} \\
\Rightarrow \quad & x_1 = \frac{-3-1}{2} = -2 \textnormal{ og } x_2 = \frac{-3+1}{2} = -1
\end{aligned}Dermed har vi:
\begin{aligned}
x^2 + 3x + 2 &= (x+1)(x+2) \\
\Rightarrow \quad x^3 + 2x^2 - x - 2 &= (x-1)(x+1)(x+2)
\end{aligned}Og, vips, har vi faktorisert.
Vi kan sjekke svaret med å multiplisere (f.eks. ved å bruke tredje kvadratsetning):
\begin{aligned}
(x-1)(x+1)(x+2) &= (x^2 - 1)(x+2) \\
&= (x^2 - 1)x + (x^2 - 1)\cdot 2 \\
& = x^3 - x + 2x^2 - 2
\end{aligned}Ok