Hvordan kan jeg løse differensialligninger?

En differensialligning er en ligning som inneholder deriverte av en funksjon. Og når du løser den, finner du funksjonen. Det finnes mange metoder, men det blir lettere å finne riktig metode jo flere du løser.

Her får du litt hjelp til å velge metode. Her er $y = y(x)$ funksjonen du skal finne. Når du har funnet den, må du bruke startbetingelser (f.eks. $y(x_0) = y_0$) dersom du har det, for å bestemme ukjente konstanter.

Beslutningstre for å finne generell løsning

Er ligningen lineær?
dvs. ingen ledd som f.eks. $y \cdot y’$.		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Nei} \quad}$ Hvis du kan skrive ligningen på formen:
$p(y) y’ = q(x)$
er den separabel.
Ja$\downarrow $
Er koeffisientene konstante?
dvs. kun tall, ikke $x$’er, foran $y$ eller deriverte av $y$.		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Nei} \quad}$ Hvis du kan skrive ligningen på formen:
$y’ + p(x) y = q(x)$
kan du prøve integrerende faktor.
Ja$\downarrow $
Er ligningen homogen?
dvs. ingen ledd uten $y$ eller deriverte av $y$.		 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Ja} \quad}$ Hvis homogen ligning er av første orden:
$ay’ + by = 0$
anta $y$ på formen $e^{\lambda x}$.

Hvis homogen ligning er av andre orden:
$ay’’ + by’ + cy = 0$
anta $y$ på formen $e^{\lambda x}$. Tre muligheter:
  1. To ulike $\lambda$:
    $y(x) = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x}$
  2. Sammenfallende $\lambda$:
    $y(x) = Ae^{\lambda x} + Bxe^{\lambda x}$
  3. Komplekse $\lambda = a \pm ib$:
    $y(x) = e^{ax} (A \cos(bx) + B \sin (bx))$
Nei$\downarrow $
Første orden:
$ay’+by = k(x)$
Andre orden:
$ay’’ + by’ + cy = k(x)$

  1. Sett $k(x)=0$ for å finne homogen løsning: $y_h(x)$
  2. Gjett partikulær løsning: $y_p(x)$. Sett inn og test.
  3. Generell løsning: $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
 $\underrightarrow{\quad \textnormal{Gjett} \quad}$
$y_p(x)$		 Gjett formen på $y_p(x)$ ut fra det inhomogene bidraget $k(x)$.

Ledd i $\mathbf{k(x)}$ Forslag til ledd i $\mathbf{y_p(x)}$
$c$ $K$
$cx^n$ $K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + $
$ \cdots +K_1x + K_0$
$ce^{px}$ $Ke^{px}$
$cx^ne^{px}$ $(K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + $
$\cdots +K_1x + K_0)e^{px}$
$c\sin(px)$ $K\cos(px) + L\sin(px)$
$c\cos(px)$ $K\cos(px) + L\sin(px)$
Dersom ingen fører frem, multipliser med $x$.
$\downarrow $
Spør om hjelp hvis du ikke allerede har gjort det. 🙂

Hvis rekken alternerer, kan den skrives på formen:

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n

der alle $a_n > 0$ eller $a_n < 0$.

Da bruker du først Leibniz’ testen:

  • Størrelsen til $|a_n|$ er avtagende, dvs. $|a_n| > |a_{n+1}|$ for alle $n$, og
  • Leddene, $a_n$, går mot null når $n$ blir stor, dvs.
\lim_{n \to \infty} a_n = 0

konvergerer rekken.

Hvis Leibniz’ testen ikke fører frem, bruker du beslutningstreet der du kun ser på $|a_n|$.

← Matematikk

↓ Oppgaver

→ Separable differensialligninger