Husk at det ofte er flere løsninger!
Steg 1: Finn en løsning, $x_1$, ved å bruke inverse funksjoner.
Steg 2: Finn en løsning til ved å sette $x_2 = \pi – x_1$ i en sinus-ligning og $x_2 = -x_1$ i en cosinus-ligning.
Steg 3: Finn alle løsninger ved å legge til $2\pi n$.
Steg 4: Hvis løsningene kun kan være i et begrenset intervall, må du begrense antall løsninger.
+ Eksempel: $\sin(x) = 0.5$
Løs ligningen (les: finn alle mulige løsninger):
\sin(x) = \frac{1}{2}Første løsning finner vi ved å bruke invers sinus:
x_1 = \sin^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}Andre løsning:
x_2 = \pi - x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}De to første løsningene markert i enhetssirkelen:
Alle løsninger:
\begin{aligned}
x = x_1 + 2\pi n &= \frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\
x = x_2 + 2\pi n &= \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n
\end{aligned}der $n$ er et heltall.
+ Eksempel: $\sin(x) = -0.5$
Løs ligningen (les: finn alle mulige løsninger):
\sin(x) = -\frac{1}{2}Første løsning finner vi ved å bruke invers sinus:
x_1 = \sin^{-1}\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}Andre løsning:
x_2 = \pi - x_1 = \pi - \left(-\frac{\pi}{6} \right) = \frac{7\pi}{6}De to første løsningene markert i enhetssirkelen:
Alle løsninger:
\begin{aligned}
x = x_1 + 2\pi n &= -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\
x = x_2 + 2\pi n &= \frac{7\pi}{6} + 2 \pi n
\end{aligned}der $n$ er et heltall.
+ Eksempel: $\cos(x) = 0.5$ når $x \in [0,2\pi\rangle$
Løs ligningen (les: finn alle mulige løsninger):
\cos(x) = \frac{1}{2} \qquad \textnormal{ når } x \in [0,2\pi\rangleFørste løsning finner vi ved å bruke invers cosinus:
x_1 = \cos^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}Andre løsning:
x_2 = - x_1 = - \frac{\pi}{3}De to første løsningene markert i enhetssirkelen:
Alle løsninger:
\begin{aligned}
x = x_1 + 2\pi n &= \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \\
x = x_2 + 2\pi n &= -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n
\end{aligned}Siden $x \in [0,2\pi\rangle$, må vi finne de $n$ som gir $x$ i det intervallet:
\begin{aligned}
n = 0: \quad & \left\{
\begin{array}{ll}
x = \frac{\pi}{3} & \textnormal{innenfor} \\
x = -\frac{\pi}{3} \qquad \qquad \;\;& \textnormal{utenfor}
\end{array} \right. \\
n = 1: \quad & \left\{
\begin{array}{ll}
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}& \textnormal{utenfor} \\
x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}& \textnormal{innenfor}
\end{array} \right.
\end{aligned}De to løsningene som er innenfor definisjonsområdet:
+ Eksempel: $4\sin^2(x) - 2\sin(x) = 2$
Løs ligningen (les: finn alle mulige løsninger):
\begin{aligned}
4\sin^2(x) - 2\sin(x) = 2 \\
\Rightarrow \qquad \textcolor{red}{4} \sin^2(x) \textcolor{blue}{- 2}\sin(x) \textcolor{green}{- 2} = 0
\end{aligned}\begin{aligned}
& \sin(x) = \frac{-(\textcolor{blue}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{red}{4}} \\
\Rightarrow \quad & \sin(x) = \frac{2 \pm 6}{8} \\
\Rightarrow \quad & \sin(x) = - \frac{1}{2} \quad \textnormal{ eller } \quad \sin(x) = 1
\end{aligned}Første løsning av $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ finner vi ved å bruke invers sinus:
x_1 = \sin^{-1}\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}Andre løsning av $\sin(x) = -\frac{1}{2}$:
x_2 = \pi - x_1 = \pi - \left(-\frac{\pi}{6} \right) = \frac{7\pi}{6}Første løsning av $\sin(x) = 1$ finner vi ved å bruke sinus invers:
x_3 = \sin^{-1} (1) = \frac{\pi}{2}(Andre løsning av $\sin(x) = 1$ blir $x_4 = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} = x_3$.)
De tre første løsningene markert i enhetssirkelen:
Alle løsninger:
\begin{aligned}
x = x_1 + 2\pi n &= -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\
x = x_2 + 2\pi n &= \frac{7\pi}{6} + 2 \pi n \\
x = x_3 + 2\pi n &= \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\end{aligned}der $n$ er et heltall.