Matriser og egenverdiproblemer: Basis og underrom

Oppgaver med basis og underrom

Publisert 9. september 2025
Sist oppdatert 24. november 2025

Tips 1: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.

Tips 2: Løs oppgavene du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.

Tips 3: Finner du feil? Vi setter stor pris på at du melder inn feil via lenken nederst til venstre.

Tips 4: Logg inn (gratis) for å lagre hvilke oppgaver du har løst.

Tips 5: Du kan se de hint og løsningsforslag for de første 3 oppgavene. Abonner for å få tilgang til alle hint og løsningsforslag.

Oppgave 1

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -4 \end{array} \right)$$

Oppgave 2

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \end{array} \right)$$

Oppgave 3

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 6 \end{array} \right)$$

Oppgave 4

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right)$$

Oppgave 5

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right) \quad \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ 3 \end{array} \right)$$

Oppgave 6

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right) \quad \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ -3 \end{array} \right)$$

Oppgave 7

Undersøk om følgende vektorer er lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right) \quad \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ -3 \end{array} \right) \quad \vec{v}_4 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$$

Oppgave 8

For hvilke verdier av $t$ er følgende vektorer lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -3 \\ t \end{array} \right) $$

Oppgave 9

For hvilke verdier av $t$ er følgende vektorer lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ t \\ 6 \end{array} \right) \quad \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ -3 \end{array} \right) $$

Oppgave 10

For hvilke verdier av $t$ er følgende vektorer lineært uavhengige:

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ -2 \end{array} \right), \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ t \end{array} \right) $$

Oppgave 11

Gitt en matrise:

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & -4 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?

Oppgave 12

Gitt en matrise:

$$ A = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 2 & -1 & 5 \\ 2 & 0 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?

Oppgave 13

Gitt en matrise:

$$ A = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 1 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & 2 & -4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -4 & -10 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?

Oppgave 14

Gitt en matrise og en vektor:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right),\quad \vec{v} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?
Undersøk om $\vec{v}$ er i radrommet til $A$
Undersøk om $\vec{v}^T$ er i kolonnerommet til $A$

Oppgave 15

Gitt en matrise og en vektor:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right),\quad \vec{v} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?
Undersøk om $\vec{v}$ er i radrommet til $A$
Undersøk om $\vec{v}^T$ er i kolonnerommet til $A$

Oppgave 16

Gitt en matrise og en vektor:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \\ 4 & 4 & -8 \end{array} \right),\quad \vec{v} = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 & 12 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?
Undersøk om $\vec{v}$ er i radrommet til $A$
Undersøk om $\vec{v}^T$ er i kolonnerommet til $A$

Oppgave 17

Gitt en matrise og en vektor:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & -1 \end{array} \right),\quad \vec{v} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -9 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?
Undersøk om $\vec{v}$ er i radrommet til $A$
Undersøk om $\vec{v}^T$ er i kolonnerommet til $A$

Oppgave 18

Gitt en matrise og en vektor:

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \end{array} \right),\quad \vec{v} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -9 \end{array} \right) $$

Hvilken rang har $A$?
Finn basis for radrommet til $A$?
Finn basis for kolonnerommet til $A$?
Undersøk om $\vec{v}$ er i radrommet til $A$
Undersøk om $\vec{v}^T$ er i kolonnerommet til $A$

Oppgave 19

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} x \\ -2x \end{array} \right) \Big| \; x \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 20

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} x \\ 0 \end{array} \right) \Big| \; x \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 21

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} x \\ x + 1 \end{array} \right) \Big| \; x \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 22

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} x \\ x^2 \end{array} \right) \Big| \; x \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 23

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ x + y \end{array} \right) \Big| \; x,y \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 24

Gitt et vektorrom:

$$ V = \left\{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ y \\ z \end{array} \right) \Big| \; y,z \in \mathbb{R} \right\} $$

Finn tre vektorer i vektorrommet.
Er vektorrommet et gyldig underrom?

Oppgave 25

Gitt fire vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \; \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \; \vec{v}_4 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) $$

Finn en basis for vektorrommet som spennes ut av vektorene.
Hvilken dimensjon har vektorrommet som spennes ut av vektorene?
Hva er spennet til vektorene?

Oppgave 26

Gitt fire vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right) \; \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \end{array} \right) \; \vec{v}_4 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) $$

Finn en basis for vektorrommet som spennes ut av vektorene.
Hvilken dimensjon har vektorrommet som spennes ut av vektorene?
Hva er spennet til vektorene?

Oppgave 27

Gitt fire vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \; \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 1 \end{array} \right) \; \vec{v}_4 = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 5 \end{array} \right) $$

Finn en basis for vektorrommet som spennes ut av vektorene.
Hvilken dimensjon har vektorrommet som spennes ut av vektorene?
Hva er spennet til vektorene?

Oppgave 28

Gitt to vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)$$

Vis at vektorene danner en basis for et vektorrom i $\mathbb{R}^2$.
Hvilken dimensjon har vektorrommet?
Finn to vektorer i vektorrommet
Vis at $ \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \end{array}\right) $ ligger i vektorrommet og finn koordinatene.
Lag en ortonormal basis for vektorrommet.

Oppgave 29

Gitt en vektor:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right)$$

Vis at vektoren danner en basis for et vektorrom i $\mathbb{R}^2$.
Hvilken dimensjon har vektorrommet?
Finn to vektorer i vektorrommet
Vis at $ \vec{u} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -10 \end{array}\right) $ ligger i vektorrommet og finn koordinatene.
Lag en ortonormal basis for vektorrommet.

Oppgave 30

Gitt en vektor:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right)$$

Vis at vektoren danner en basis for et vektorrom i $\mathbb{R}^3$.
Hvilken dimensjon har vektorrommet?
Finn to vektorer i vektorrommet
Vis at $ \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $ ligger i vektorrommet og finn koordinatene.
Lag en ortonormal basis for vektorrommet.

Oppgave 31

Gitt to vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right)$$

Vis at vektorene danner en basis for et vektorrom i $\mathbb{R}^3$.
Hvilken dimensjon har vektorrommet?
Finn to vektorer i vektorrommet
Vis at $ \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 10 \end{array}\right) $ ligger i vektorrommet og finn koordinatene.

Oppgave 32

Gitt tre vektorer:

$$ \vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right), \; \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right) \; \vec{v}_3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) $$

Vis at vektorene danner en basis for et vektorrom i $\mathbb{R}^3$.
Hvilken dimensjon har vektorrommet?
Finn to vektorer i vektorrommet
Vis at $ \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 10 \end{array}\right) $ ligger i vektorrommet og finn koordinatene.
Lag en ortonormal basis for vektorrommet.

Lineært uavhengige vektorer

Basis for rad- og kolonnerommet

Basis, spenn, rang og dimensjon

Hva er Markovkjeder?

📩 Send ønske 📩

👍🏼 Ros og ris 👎🏼

🛠️ Meld feil 🛠️

Symboler:

For abonnenter

★ Utfordring ★

Interaktiv

Dypdykk

☰ Metode ☰

Bonus

Video

@ 2026 Kunnskapsgnist.no AS (org. nr. 936205380)

Lisensvilkår og personvernerklæring